如图，在平面直角坐标系 \(xOy\) 中，\(A(-1,0)\)，\(B(1,0)\)．点 \(C\) 是单位圆上一点，且其纵坐标大于 \(0\)，延长 \(AC\) 到 \(P\)，使 \(CP=CB\)．当点 \(C\) 从 \(B\) 点运动到 \(A\) 点时，点 \(P\) 运动的轨迹长度为________．
正确答案是\(\sqrt 2\pi\)．
分析与解 法一 根据题意，点 \(P\) 是点 \(B\) 关于 \(\angle BCP\) 的平分线 \(l\) 对称的点，而 \(l\) 是 \(\angle ACB\) 的外角平分线．注意到 \(\angle ACB\) 的角平分线恒过点 \(E(0,-1)\)（弧 \(AE\) 与弧 \(BE\) 相等），而内外角平分线互相垂直，因此 \(l\) 与 \(CE\) 垂直，进而直线 \(l\) 恒过点 \(D(0,1)\)，如图．
这就意味着 \(DP=DB\)，因此 \(P\) 点在以 \(D\) 为圆心，\(DB\) 为半径的圆上．考虑到 \(C\) 点从 \(B\) 点运动到 \(A\) 点，因此 \(P\) 点从 \(B(1,0)\) 点运动到 \(Q(-1,2)\) 点，其轨迹长度为\[\dfrac 12\cdot 2\pi \cdot \sqrt 2=\sqrt 2\pi.\]
法二 设 \(\angle CAB=\theta\)，其中 \(\theta\in \left[0,\dfrac{\pi}2\right]\)，则 \(CA=2\cos\theta\)，\(CB=2\sin\theta\)，于是\[AP=AC+CP=2\sin\theta+2\cos\theta,\]于是 \(P\) 点的坐标为\[\left(\left(2\sin\theta+2\cos\theta\right)\cos\theta-1,\left(2\sin\theta+2\cos\theta\right)\sin\theta\right),\]即\[\left(\sqrt 2\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}4\right),1-\sqrt 2\cos\left(2\theta+\dfrac{\pi}4\right)\right),\]因此点 \(P\) 的轨迹是以 \((0,1)\) 为圆心，\(\sqrt 2\) 为半径的半圆，其长度为 \(\sqrt 2\pi\)．