每日一题[1080]轨迹长度

如图,在平面直角坐标系 \(xOy\) 中,\(A(-1,0)\)\(B(1,0)\).点 \(C\) 是单位圆上一点,且其纵坐标大于 \(0\),延长 \(AC\) \(P\),使 \(CP=CB\).当点 \(C\) \(B\) 点运动到 \(A\) 点时,点 \(P\) 运动的轨迹长度为________


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正确答案是\(\sqrt 2\pi\)

分析与解 法一 根据题意,点 \(P\) 是点 \(B\) 关于 \(\angle BCP\) 的平分线 \(l\) 对称的点,而 \(l\) \(\angle ACB\) 的外角平分线.注意到 \(\angle ACB\) 的角平分线恒过点 \(E(0,-1)\)(弧 \(AE\) 与弧 \(BE\) 相等),而内外角平分线互相垂直,因此 \(l\) \(CE\) 垂直,进而直线 \(l\) 恒过点 \(D(0,1)\),如图.

这就意味着 \(DP=DB\),因此 \(P\) 点在以 \(D\) 为圆心,\(DB\) 为半径的圆上.考虑到 \(C\) 点从 \(B\) 点运动到 \(A\) 点,因此 \(P\) 点从 \(B(1,0)\) 点运动到 \(Q(-1,2)\) 点,其轨迹长度为\[\dfrac 12\cdot 2\pi \cdot \sqrt 2=\sqrt 2\pi.\]

法二 设 \(\angle CAB=\theta\),其中 \(\theta\in \left[0,\dfrac{\pi}2\right]\),则 \(CA=2\cos\theta\)\(CB=2\sin\theta\),于是\[AP=AC+CP=2\sin\theta+2\cos\theta,\]于是 \(P\) 点的坐标为\[\left(\left(2\sin\theta+2\cos\theta\right)\cos\theta-1,\left(2\sin\theta+2\cos\theta\right)\sin\theta\right),\]\[\left(\sqrt 2\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}4\right),1-\sqrt 2\cos\left(2\theta+\dfrac{\pi}4\right)\right),\]因此点 \(P\) 的轨迹是以 \((0,1)\) 为圆心,\(\sqrt 2\) 为半径的半圆,其长度为 \(\sqrt 2\pi\)

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