每日一题[1082]动起来

\(P(x,y)\) 是曲线 \(C:y=\dfrac 1x\)\(x>0\))上的一个动点,曲线 \(C\) 在点 \(P\) 处的切线与 \(x\) 轴、\(y\) 轴分别交于 \(A,B\) 两点,点 \(O\) 是坐标原点,则(  

A.\(|PA|=|PB|\)
B.\(\triangle OAB\)
的面积为定值
C.曲线 \(C\) 上存在两点 \(M,N\) 使得 \(\triangle OMN\) 是等边三角形
D.曲线 \(C\) 上存在两点 \(M,N\) 使得 \(\triangle OMN\) 是等腰直角三角形


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正确答案是ABCD

分析与解 选项A 先证明一个引理.

引理 若直线 \(l\) 是曲线 \(C:y=\dfrac 1x\) 的割线,且割点分别为 \(P,Q\),直线 \(l\) \(x\) 轴、\(y\) 轴分别交于 \(A,B\) 两点,则 \(PB=QA\),如图.

证明  \(P,Q\) 作两坐标轴的垂线,设 \(PM\) \(x\) 轴垂直且相交于 \(M\)\(QN\) \(y\) 轴垂直且相交于 \(N\)\(PM\) \(QN\) 相交于 \(R\),则根据反比例函数图象的性质,有 \(S_{\triangle NPR}=S_{\triangle MQR}\),因此\[S_{\triangle NPQ}=S_{\triangle MPQ},\]进而 \(MN\parallel PQ\),从而 \(BP,NM,QA\) 平行且相等,于是引理得证.

根据引理,当 \(P,Q\) 重合时,割线变成切线,此时有 \(|PA|=|PB|\),命题成立.

选项B 由于 \(|PA|=|PB|\),因此 \(\triangle OAB\) 的面积为定值 \(2\)

选项C 在曲线 \(C\) 上选取关于 \(y=x\) 对称的两点 \(M,N\),形成等腰 \(\triangle OMN\),当 \(N\) \((1,0)\) \((+\infty,0)\) 运动时,\(\triangle OMN\) 的顶角 \(\angle MON\) \(0\) 增大到 \(90^\circ\),在运动的过程中必然存在 \(\triangle MON\) \(60^\circ\) 的时刻,此时 \(\triangle MON\) 为等边三角形,命题正确.

选项D  \(O\) 作射线 \(OM\),与曲线 \(C\) 交于 \(M\).将射线 \(OM\) 顺时针旋转 \(45^\circ\) 得到射线 \(ON\),与曲线 \(C\) 交于 \(N\).当 \(M\) \((0,+\infty)\) 运动到 \((1,1)\) 时,\( \dfrac{OM}{ON} \) 的值从 \( +\infty \) 变化到 \( 0 \),在运动的过程中必然存在 \( \dfrac{OM}{ON} \) \( \sqrt 2 \) \( \dfrac{\sqrt 2}2 \) 的时刻,此时 \( \triangle MON \) 为等腰直角三角形,命题正确.

 选项AB也可以直接求出切线方程判断真假.

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