每日一题[1076]按步就班

已知 \(f(x)={\log_{x+1}}(x+2)\)\(x\geqslant 1\)),\(g(x)=f(x)\cdot f(x+1)\cdots f(x+n)\)\(n\in\mathbb N^*\)),记 \(g(x)\) \([1,+\infty)\) 上的最大值为 \(F(n)\),则当 \(|F(n+1)-F(n)|\) 最大时,\(n\) 的取值为________


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正确答案是\(1\)

分析与解 根据题意,有\[g(x)={\log_{x+1}}(x+2)\cdot {\log_{x+2}}(x+3)\cdots {\log_{x+n+1}}(x+n+2),\]也即\[g(x)={\log_{x+1}}(x+n+2).\]注意到\[\begin{split}{\log_{x+1}}(x+n+2)&=\dfrac{\ln(x+n+2)}{\ln(x+1)}\\&=\dfrac{\ln(x+n+2)-\ln(x+1)}{\ln(x+1)}+1\\&=\dfrac{\ln\left(1+\dfrac{n+1}{x+1}\right)}{\ln(x+1)}+1,\end{split}\]于是 \(g(x)\) \([1,+\infty)\) 上单调递减,因此\[F(n)=g(1)={\log_2}(n+3),\]进而\[\big|F(n+1)-F(n)\big|={\log_2}\dfrac{n+4}{n+3}={\log_2}\left(1+\dfrac{1}{n+3}\right),\] \(n=1\) 时取得最大值.

 

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