用拉格朗日乘数法求代数式最值

已知$a,b,c>0$，$a+b^2+c^3=3$，求$3a^2+4b^3+9c^4$的最小值．

正确答案是$\dfrac{25\sqrt 5-29}2$．

解　用拉格朗日乘数法，有\[F(a,b,c,\lambda )= 3a^2+4b^3+9c^4+\lambda\left(a+b^2+c^3-3\right),\]于是解方程组\[\begin{cases}6a+\lambda=0,\\ 12b^2+2b\lambda =0,\\ 36c^3+3c^2\lambda =0, \\ a+b^2+c^3-3=0,\end{cases}\]可得\[a=b=2c=\sqrt 5-1,\]此时$3a^2+4b^3+9c^4$取得最小值$\dfrac{25\sqrt 5-29}2$．