每日一题[927]内心的轨迹

设$P$为椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)上的动点,$F_1,F_2$为椭圆的两个焦点,$I$为$\triangle PF_1F_2$的内心,求点$I$的轨迹方程.


cover正确答案是$\dfrac{x^2}{c^2}+\dfrac{y^2}{\dfrac{a-c}{a+c}\cdot c^2}=1$($y\ne 0$),其中$c^2=a^2-b^2$.

分析与解 如图,设内切圆$I$与$F_1F_2$的切点为$H$,半径为$r$,且$F_1H=y$,$F_2H=z$,$PF_1=x+y$,$PF_2=x+z$,$c=\sqrt{a^2-b^2}$,则\[\begin{cases} y+z=2c,\\ 2x+y+z=2a.\end{cases}\]直线$IF_1$与$IF_2$的斜率之积\[k_{IF_1}\cdot k_{IF_2}=-\dfrac{IH^2}{F_1H\cdot F_2H}=-\dfrac{r^2}{yz},\]而根据海伦公式,有$\triangle PF_1F_2$的面积为\[(x+y+z)r=\sqrt{xyz(x+y+z)},\]因此有\[k_{IF_1}\cdot k_{IF_2}=-\dfrac{x}{x+y+z}=-\dfrac{a-c}{a+c}.\]再根据椭圆的斜率积定义,可得$I$点的轨迹是以$F_1F_2$为长轴,离心率$e$满足\[e^2-1=-\dfrac{a-c}{a+c}\]的椭圆,其标准方程为\[\dfrac{x^2}{c^2}+\dfrac{y^2}{\dfrac{a-c}{a+c}\cdot c^2}=1,y\ne 0.\]其他方法 令$P(a\cos\theta,b\sin\theta)$,则$\sin\theta\ne 0$.三角形$PF_1F_2$的面积$$S=\dfrac 12\cdot 2c\cdot|b\sin\theta|=\dfrac 12(2c+2a)\cdot r,$$其中$r$为内切圆的半径,解得$$r=\dfrac{bc\cdot|\sin\theta|}{a+c}=|y_I|.$$另一方面,由内切圆的性质及焦半径公式得$$(c-x_I)-(x_I+c)=|PF_1|-|PF_2|=(a-c\cos\theta)-(a+c\cos\theta),$$从而有$x_I=c\cos\theta$.消去$\theta$得到点$I$的轨迹方程为\[\dfrac{x^2}{c^2}+\dfrac{y^2}{\dfrac{a-c}{a+c}\cdot c^2}=1,y\ne 0.\]

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