每日一题[923]一念之差

已知$f(x)=\ln x-x^3+2{\rm e}x^2-ax$有$2$个零点,求实数$a$的取值范围.


cover正确答案是$\left(-\infty,{\rm e}^2+{\rm e}^{-1}\right)$.

分离变量法 问题可以转化为函数\[g(x)=\dfrac{\ln x}x-x^2+2{\rm e}x\]的图象与直线$y=a$有两个公共点.而$g(x)$的导函数\[g'(x)=2\left({\rm e}-x\right)+\dfrac{1-\ln x}x,\]于是函数$g(x)$在$(0,{\rm e})$上单调递增,在$({\rm e},+\infty)$上单调递减,在$x={\rm e}$处取得极大值,亦为最大值\[g({\rm e})={\rm e}^2+{\rm e}^{-1},\]考虑到\[\lim_{x\to 0^+}g(x)=\lim_{x\to +\infty}g(x)=-\infty,\]于是$a$的取值范围是$\left(-\infty,{\rm e}^2+{\rm e}^{-1}\right)$.

整体考虑 函数$f(x)$的导函数\[f'(x)=\dfrac {-3x^3+4{\rm e}x^2+1}x-a,\]其极值点$x=x_0$满足\[-3x_0^3+4{\rm e}x_0^2+1-ax_0=0,\]因此对应的极值为\[f(x_0)=\ln x_0-x_0^3+2{\rm e}x_0^2-ax_0=\ln x_0+2x_0^3-2{\rm e}x_0^2-1.\]记\[\varphi(x)=\ln x+2x^3-2{\rm e}x^2-1,\]则其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{6x^3-4{\rm e}x^2+1}x,x>0\]于是函数$\varphi(x)$先单调递增,再单调递减,然后单调递增,不难证明它的极值小于$0$,因此有唯一零点$x={\rm e}$.函数$\varphi(x)$的图象如图.
考虑函数\[a(x)=\dfrac {-3x^3+4{\rm e}x^2+1}x,\]函数$a(x)$的导函数\[a'(x)=\dfrac{-6x^3+4{\rm e}x^2-1}{x^2},\]因此其图象如图.

这样我们就得到了讨论的分界点$a({\rm e})={\rm e}^2+{\rm e}^{-1}$,分类讨论如下.

情形一 $a>{\rm e}^2+{\rm e}^{-1}$.此时对应的极值点(即$a=a(x)$的解$x_i$)都小于${\rm e}$,因此极值($\varphi(x_i)$)均小于$0$,不符合题意;

情形二 $a={\rm e}^2+{\rm e}^{-1}$.此时对应两个极值点小于${\rm e}$,最大的极值点为${\rm e}$,因此有两个极值小于$0$,极大值亦为最大值为$0$,不符合题意;

情形三 $a<{\rm e}^2+{\rm e}^{-1}$.此时最大的极值点大于${\rm e}$,对应的极大值亦为最大值大于$0$,且其他极值(如果存在的话)均小于$0$,再结合函数的单调性和极限(根据$a$与$a(x)$的大小关系),可知函数$f(x)$的零点个数为$2$,符合题意.

综上所述,实数$a$的取值范围是$\left(-\infty,{\rm e}^2+{\rm e}^{-1}\right)$.

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