每日一题[926]向量的等系数和线

已知$O$为$\triangle ABC$的外心,且$\overrightarrow{BO}=\lambda\overrightarrow{BA}+\mu\overrightarrow{BC}$.
(1) 若$\angle C=90^\circ$,则$\lambda+\mu=$_______;
(2) 若$\angle ABC=60^\circ$,则$\lambda+\mu$的最大值为_______.


cover正确答案是$\dfrac{1}{2}$;$\dfrac{2}{3}$.

分析与解 (2)若$\angle ABC=60^\circ$,延长$BO$交$AC$于$D$,则\[\lambda+\mu=\dfrac{|BO|}{|BD|}\in\left(-\infty,\dfrac{2}{3}\right].\]不妨设$\triangle ABC$的外接圆半径为$1$,根据向量线性分解的系数和的几何意义,有\[\lambda+\mu=\dfrac{OB}{BD}=\dfrac{OB}{OB+OD}\leqslant \dfrac{OB}{OB+d(O,AC)}=\dfrac{1}{1+\cos B}=\dfrac 23,\]因此$\lambda+\mu$的最大值为$\dfrac 23$.


附 首先,我们知道三点共线的向量表达:

如果 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ 是平面上的一组基底,且有 $\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$,那么“$x+y=1$”与“点 $C$ 位于直线 $AB$ 上”等价.

更进一步,有向量的等系数和线

如果 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ 是平面上的一组基底,且有 $\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$,若 $x+y=m$,那么 $\dfrac xm+\dfrac ym=1$,于是$$\overrightarrow{OC}=\dfrac xm\left(m\overrightarrow{OA}\right)+\dfrac ym\left(m\overrightarrow{OB}\right),$$记$$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OQ}=m\overrightarrow{OB},$$则点 $C$ 位于直线 $PQ$ 上.

于是当向量分解的系数和$x+y$为定值时,点$C$的轨迹($x,y$变化时)为一条与$AB$平行(或重合)的直线上,当$x+y$的值变化时,对应一系列平行的直线,即“向量分解的等系数和线”,如下图:

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