一道代数不等式的证明

已知$a,b,c\geqslant 0$,$ab+bc+ca=1$,求证:$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\geqslant \dfrac 52$.


证明 消元调整

不妨设$c=\max\{a,b,c\}$,根据条件,有\[c=\dfrac{1-ab}{a+b},\]于是\[\begin{split}LHS&=\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+\dfrac{1-ab}{a+b}}+\dfrac{1}{\dfrac{1-ab}{a+b}+a}\\
&=\dfrac{1}{a+b}+(a+b)\cdot \left(\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{1}{1+a^2}\right)\\
&\geqslant \dfrac{1}{a+b}+(a+b)\cdot \left[1+\dfrac{1}{1+(a+b)^2}\right]\\
&=a+b+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+b+\dfrac{1}{a+b}}
,\end{split}\]而$a+b+\dfrac{1}{a+b}\geqslant 2$,于是上式右边的最小值为$\dfrac 52$,原不等式得证.

其中用到的不等式\[\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{1}{1+a^2}\geqslant 1+\dfrac{1}{1+(a+b)^2} \]即\[(a+b)^2ab\leqslant 2(1-ab),\]因为$c\geqslant \dfrac {a+b}2$,所以\[c=\dfrac{1-ab}{a+b}\geqslant \dfrac{a+b}2,\]于是\[2(1-ab)\geqslant (a+b)^2\geqslant (a+b)^2ab.\]

PQR方法

令$p=a+b+c$,$q=ab+bc+ca$,$r=abc$,则条件即$q=1$,欲证不等式等价于\[2\sum_{cyc}(a+b)(a+c)\geqslant 5(a+b)(b+c)(c+a),\]即\[5r+2p^2-5p+2\geqslant 0.\]若$p>2$,则不等式显然成立;若$p \leqslant 2$,则由舒尔不等式,有\[p^3+9r\geqslant 4pq,\]因此\[5r+2p^2-5p+2\geqslant 5\cdot \dfrac {4p-p^3}9+2p^2-5p+2=\dfrac 19(2-p)(5p^2-8p+9)\geqslant 0,\]不等式也成立.

综上所述,原不等式得证.

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