每日一题[933]形式联想

已知实数$a_1,a_2,a_3,a_4$满足$a_1a_4-a_2a_3=1$,求$$M=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_1a_3+a_2a_4$$的最小值.


cover分析与解 考虑到\[\left(a_1+a_2{\rm i}\right)\left(a_4+a_3{\rm i}\right)=\left(a_1a_4-a_2a_3\right)+\left(a_1a_3+a_2a_4\right){\rm i},\]于是\[\left(a_1^2+a_2^2\right)\left(a_3^2+a_4^2\right)=\left(a_1a_4-a_2a_3\right)^2+\left(a_1a_3+a_2a_4\right)^2,\]因此\[\begin{split}
M&=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_1a_3+a_2a_4\\&\geqslant 2\sqrt{\left(a_1^2+a_2^2\right)\left(a_3^2+a_4^2\right)}+\left(a_1a_3+a_2a_4\right)\\&=2\sqrt{\left(a_1a_3+a_2a_4\right)^2+1}+\left(a_1a_3+a_2a_4\right),\end{split}\]记$x=a_1a_3+a_2a_4$,则有\[3x^2+2Mx+4-M^2\leqslant 0,\]其判别式\[\Delta=4M^2-4\cdot 3\cdot \left(4-M^2\right)\geqslant 0,\]从而可得$M\geqslant \sqrt 3$.事实上,考虑到取等条件为\[\begin{cases}a_1^2+a_2^2=a_3^2+a_4^2,\\a_1a_3+a_2a_4=-\dfrac{1}{\sqrt 3},\\a_1a_4-a_2a_3=1,\end{cases}\]令$\left(a_1,a_2,a_3,a_4\right)=\left(t,-\dfrac{1}{2t},t,\dfrac{1}{2t}\right)$,其中$t^2=\dfrac{\sqrt 3}6$,则有$M=\sqrt 3$.因此$M$的最小值为$\sqrt 3$.

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每日一题[933]形式联想》有 1 条评论

  1. 费 奕恒 费 奕恒说:

    我想到还可以考虑构造向量$m(a_1,a_2)$,$n(a_3,a_4)$,条件即$m\times n=1$,而$M=|m|^²+|n|^²+m\cdot n$.

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