每日一题[934]函数不等式的变形

函数$f(x)=x|x|$.若存在$x\in[1,+\infty)$,使得$f(x-2k)-k<0$,则$k$的取值范围是(  )
A.$\left(2,+\infty\right)$
B.$\left(1,+\infty\right)$
C.$\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$
D.$\left(\dfrac{1}{4},+\infty\right)$

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正确答案是D.

分析与解 若$k\leqslant 0$,则$x-2k\geqslant 1$,从而有$$f(x-2k)>0>k,$$不符合题意,所以有$k>0$.

注意到$f(x)$在$\mathbb{R}$上单调递增,如果能将$k$表示成某点的函数值,则可以直接利用单调性拿掉$f$,于是我们得到\[f(x-2k)-k<0\Leftrightarrow f(x-2k)<f\left(\sqrt{k}\right)\Leftrightarrow x-2k<\sqrt{k},\]
因此存在$x\in[1,+\infty)$,使得$f(x-2k)-k<0$等价于$2k+\sqrt{k}>1$,解得$k>\dfrac{1}{4}$.

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