Math173

设$P$为椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)上的点，$A,B$分别为双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$两渐近线上的动点，且$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$（$\lambda$为常数）．设$O$为坐标原点，若$\triangle AOB$面积的最大值为$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\cdot \dfrac{(1+\lambda)^2}{4|\lambda|}$，则$\dfrac 1a+\dfrac 7b$的取值范围是______．

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已知关于$x$的方程${\rm e}^{-x}+2=|\ln x|$的两个实数解为$x_1,x_2$($x_1<x_2$)，则(　　)
A．$0<x_1x_2<{\rm e}^{-1}$
B．$x_1x_2={\rm e}^{-1}$
C．${\rm e}^{-1}<x_1x_2<1$
D．以上答案都不对

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甲乙两人在沙滩上玩鹅卵石游戏，现有$15$块鹅卵石，甲乙两人轮流从石堆中拿出鹅卵石，每次每人拿的石块数只能是$1,2$或$3$，直到鹅卵石全部拿完游戏结束．如果当游戏结束时，总共拿到奇数个鹅卵石的人获胜，请问是否有必胜策略．

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设实数$a\geqslant 2$，方程$x^2-ax+1=0$的两根分别为$x_1,x_2$，$a_n=x_1^n+x_2^n$($n=1,2,\cdots$)，$b_n=\dfrac{a_n}{a_{n+1}}$．
(1)用$b_n$表示$b_{n+1}$，并判断数列$\{b_n\}$的单调性；
(2)求所有实数$a$的值，使得对任意正整数$n$都有$b_1+b_2+\cdots+b_n>n-1$．

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求证：$\sqrt{2012+\sqrt{2011+\sqrt{\cdots+\sqrt{2+\sqrt 1}}}}<46$．

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已知$a,b,c\geqslant 0$且$a+b+c=3$，求$m=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$的最大值．

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已知矩形$ABCD$中$AB=\sqrt 2BC$，以$CD$为直径向矩形外作半圆，设$P$为半圆上任意一点，直线$PA,PB$分别与$CD$相交于点$M,N$，求证：$CD^2=CM^2+DN^2$．

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证明：棱长为$1$的正四面体的棱在任一平面上的投影长度的平方之和为定值．

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已知$a,b,c,d>0$，求证：$\dfrac{1}{a(a+b)}+\dfrac{1}{b(b+c)}+\dfrac{1}{c(c+d)}+\dfrac{1}{d(d+a)}\geqslant \dfrac{4}{ac+bd}$．
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已知$A$在线段$BC$上(不包含端点)，$O$是直线$BC$外一点，且$\overrightarrow{OA}-2a\overrightarrow{OB}-b\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，则$\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{2b}{1+b}$的最小值是________．

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