每日一题[996]投影长度

证明:棱长为$1$的正四面体的棱在任一平面上的投影长度的平方之和为定值.


分析与证明 先证明

引理 已知非零空间向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$两两垂直,$\overrightarrow m$为空间任意非零向量且与$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$的夹角分别为$\alpha,\beta,\gamma $,则\[\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma =1.\]
证明 不妨设$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c,\overrightarrow m$均为单位向量,且$\overrightarrow m=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b+z\overrightarrow c$,则\[\cos \alpha=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow m=\overrightarrow a\cdot \left(x\overrightarrow a+y\overrightarrow b+z\overrightarrow c\right)=x,\]类似的,有$\cos\beta=y$,$\cos\gamma =z$,于是\[\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=x^2+y^2+z^2=\left|\overrightarrow m\right|^2=1,\]引理得证.

将正四面体$OABC$放入棱长为$\dfrac{\sqrt 2}2$的正方体$OGAF-EBHC$中研究,如图.
记$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow a$,$\overrightarrow {OF}=\overrightarrow b$,$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow c$,$\overrightarrow m$为投影面的单位法向量,且与$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$的夹角分别为$\alpha,\beta,\gamma $,则所求棱的投影长度的平方和\[\begin{split}M&=\sum_{cyc}\left(OA^2-\left(\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow m\right)^2\right)+\sum_{cyc}\left(AB^2-\left(\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow m\right)^2\right)\\&=6-\sum_{cyc}\left(\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)\cdot \overrightarrow m\right)^2-\sum_{cyc}\left(\left(\overrightarrow a-\overrightarrow b\right)\cdot \overrightarrow m\right)^2\\&=6-\sum_{cyc}\left(\dfrac{\sqrt 2}2\cos\beta+\dfrac{\sqrt 2}2\cos\gamma\right)^2-\sum_{cyc}\left(\dfrac{\sqrt 2}2\cos\alpha-\dfrac{\sqrt 2}2\cos\beta\right)^2\\&=6-\sum_{cyc}\cos^2\alpha-\sum_{cyc}\cos^2\beta\\&=4,\end{split}\]为定值,因此原命题得证.

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每日一题[996]投影长度》有 3 条评论

  1. cbc123e说:

    明白了。非常感谢精辟的指导!

  2. cbc123e说:

    大胆冒昧两句
    1. 极其佩服这个问题的证明,绝对真正的高手,咋想得到的!
    若作为填空题,我会考虑特殊情况:将一个底面放到投影面上,这显然是必要条件。

    2. 能不能请教个问题呢?(冒昧了)
    等棱长的两个正方体甲和乙,若乙的一个顶点在甲的中心处,当乙在空间自由转动时,甲和乙的公共部分的体积是定值(正方体体体积的1/8)。
    我曾经在《菁优网》等处悬赏优点征解,但都没成功。
    近来才发现math173,为她的主任的高超水平、灵活精湛的解题思路方法技巧所震撼,叹服!所以才把解决不了的问题求教于兹。

    • 意琦行 意琦行说:

      这是显然的,把位于甲中心处的乙的顶点出发的三个面延伸把甲划分为$8$个部分,这$8$个部分是全等的(可以考虑将乙反复旋转得到).

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