每日一题[999]构造数列

求证:$\sqrt{2012+\sqrt{2011+\sqrt{\cdots+\sqrt{2+\sqrt 1}}}}<46$.


cover证明 设数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$,且当$n\geqslant 2$时,有\[a_n=\sqrt{n+a_{n-1}},\]则原式即$a_{2012}$.下面给出


引理 如上定义的$\{a_n\}$满足$a_n<\sqrt{n+\sqrt{2n}}$,$n\in\mathbb N^*$.

证明 当$n=1$时,命题显然成立;

假设命题当$n=k$($k\in\mathbb N^*$)时成立,则有$a_k<\sqrt{k+\sqrt{2k}}$.

当$n=k+1$时,有\[\begin{split} a_{k+1}=&\sqrt{k+1+a_k}\\<&\sqrt{k+1+\sqrt{k+\sqrt{2k}}}\\<&\sqrt{k+1+\sqrt{2(k+1)}},\end{split} \]因此命题对$n=k+1$也成立;

综上所述,引理得证.


根据引理,可得\[a_{2012}<\sqrt{2012+\sqrt{2\cdot 2012}}<46,\]原命题得证.

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