每日一题[997]用解析办法解平几问题

已知矩形$ABCD$中$AB=\sqrt 2BC$,以$CD$为直径向矩形外作半圆,设$P$为半圆上任意一点,直线$PA,PB$分别与$CD$相交于点$M,N$,求证:$CD^2=CM^2+DN^2$.


证明 以$CD$的中点为原点,$DC$为$x$轴方向建立平面直角坐标系,不妨设$AB=2$,如图.
设$P(\cos\theta,\sin\theta)$,$A(-1,-\sqrt 2)$,$B(1,-\sqrt 2)$,$C(1,0)$,$D(-1,0)$,于是根据截距坐标公式,$M,N$的横坐标分别为\[\begin{split}
x_M&=\dfrac{\cos\theta\cdot (-\sqrt 2)-(-1)\cdot \sin\theta}{-\sqrt 2-\sin\theta}\\&=\dfrac{-\sin\theta+\sqrt 2\cos\theta}{\sqrt 2+\sin\theta},\\x_N&=\dfrac{\cos\theta\cdot (-\sqrt 2)-1\cdot \sin\theta}{-\sqrt 2-\sin\theta}\\&=\dfrac{\sin\theta+\sqrt 2\cos\theta}{\sqrt 2+\sin\theta},\end{split}\]于是\[\begin{split}CM^2+DN^2&=\left(1-x_M\right)^2+\left(x_N-(-1)\right)^2\\&=\dfrac{\left(\sqrt 2+2\sin\theta-\sqrt 2\cos\theta\right)^2+\left(\sqrt 2+2\sin\theta+\sqrt 2\cos\theta\right)^2}{\left(\sqrt 2+\sin\theta\right)^2}\\&=4=CD^2,\end{split}\]因此原命题得证.

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每日一题[997]用解析办法解平几问题》有 2 条评论

  1. cbc123e说:

    第一行式子肯定打错了。显然应该是AB=sqr(2)*BC吧。

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