已知函数$f(x)={\rm e}^{ax}-1+\ln(x+1)$．
(1) 若函数$f(x)$在区间$(-1,+\infty)$内单调递增，求$a$的取值范围；
(2) 若$0<a\leqslant 1$，且$x>0$，求证：$f(x)>2ax$．
平面直角坐标系中$xOy$中，$P$是不在$x$轴上的一个动点，过$P$作抛物线$y^2=4x$的两条切线，切点设为$A,B$，且直线$PO\perp AB$于$Q$，$R$为直线$AB$与$x$轴的交点．
(1) 求证：$R$是定点；
(2) 求$\dfrac{PQ}{QR}$的最小值．
已知$a,b>0$，且$a+\dfrac 2a+3b+\dfrac 4b=10$，则$ab$的取值范围是________．
已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的内接$\triangle ABC$的边$AB,AC$分别过其左、右焦点$F_1(-c,0),F_2(c,0)$，椭圆$E$的左、右顶点分别为$D,E$，直线$DB$和$EC$交于点$P$，当点$A$在椭圆$E$上运动时，点$P$的轨迹方程是__________．
若$a\sin^2\theta+b\cos^2\theta=c$且$\dfrac{a}{\sin^2\theta}+\dfrac{b}{\cos^2\theta}=c$，则$\dfrac{c}{a-b}+\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}$的值为______．
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已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，对任意的$n\in\mathbb N^*$，$S_n=(-1)^na_n+\dfrac{1}{2^n}+n-3$且$(a_{n+1}-p)(a_n-p)<0$恒成立，则实数$p$的取值范围是_______．
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设$a_1>\dfrac{1}{12}$，且$a_{n+1}=\sqrt{(n+2)a_n+1}$，$n\in\mathbb N^*$．
(1) 求证：$a_n>n-\dfrac 2n$；
(2) 设$b_n=2^n\left(\dfrac{a_n}n-1\right)$，求证：当$\dfrac{1}{12}<a_1<1$时，$b_n<b_{n+1}<0$；当$a_1>1$时，$0<b_{n+1}<b_n$．
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已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)，$c,e$分别为椭圆$E$的半焦距和离心率，$F_1,F_2$分别为椭圆的左、右焦点．下列命题：
$(1)$设$A$为椭圆上任一点，其到直线$l_1:x=-\dfrac{a^2}{c}$，$l_2:x=\dfrac{a^2}{c}$的距离分别为$d_1,d_2$，则$\dfrac{|AF_1|}{d_1}=\dfrac{|AF_2|}{d_2}$；
$(2)$设$A$为椭圆上任一点，$AF_1,AF_2$分别于椭圆交于$B,C$两点，则$$\dfrac{|AF_1|}{|F_1B|}+\dfrac{|AF_2|}{|F_2C|}\geqslant 2\cdot \dfrac{1+{e}^2}{1-{e}^2},$$当且仅当点$A$在椭圆的顶点取到等号；
$(3)$设$A$为椭圆上任一点，过$A$的椭圆切线为$l$，$M$为线段$F_1F_2$上一点，且$\dfrac{|AF_1|}{|AF_2|}=\dfrac{|F_1M|}{|MF_2|}$，则直线$AM\perp l$；
$(4)$面积为$2ab$的椭圆内接四边形仅有$1$个．
其中正确的命题个数为( )
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．$4$
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