每日一题[1240]非零数字

求 $2018!$ 的最后一个非零数字.

解析    记 $f(x)$ 为 $x$ 的最后一个非零数字.由于 $2018!$ 中因数 $2$ 的个数远比因数 $5$ 的个数多,因此 $f(2018!)$ 为偶数.接下来只考虑考虑 $f(x)$ 为偶数的情形.有\[\begin{array} {c|ccccccccc}\hline f(x)&f(x\cdot 1)&f(x\cdot 2)&f(x\cdot 3)&f(x\cdot 4)&f(x\cdot 5)&f(x\cdot 6)&f(x\cdot 7)&f(x\cdot 8)&f(x\cdot 9)\\ \hline 2&2&4&6&8&6&2&4&6&8\\ \hline 4&4&8&2&6&2&4&8&2&6\\ \hline 6&6&2&8&4&8&6&2&8&4\\ \hline 8&8&6&4&2&4&8&6&4&2\\ \hline\end{array}\]其中注意 $f(x\cdot 5)$ 可以视为 $f(x\div 2\times 10)$,考虑 $\dfrac {f(x)}2$ 模 $5$ 的余数以及 $f(x\cdot 5)$ 仍然为偶数.注意到 $5$ 的特殊性,每次把 $5$ 的倍数单独取出,然后把取出的每个数都提出一个因数 $5$,形成新的阶乘构成递归,有\[\begin{split} f(2018!)&=f\left(4\cdot 403!\cdot 5^{403}\right)\\ &=f\left(4\cdot 6\cdot 80!\cdot 5^{483}\right)\\ &=f\left(4\cdot 6\cdot 1\cdot 16!\cdot 5^{499}\right)\\ &=f\left(4\cdot 6\cdot 1\cdot 4\cdot 3!\cdot 5^{502}\right)\\ &=f\left(6\cdot 5^{502}\right)\\ &=f\left(6\cdot 5^2\right)\\ &=4.\end{split}\]

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