每日一题[1243]削减变量

已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $2$,内角 $A,B,C$ 所对的边长分别为 $a,b,c$,则 $a^2+2b^2+3c^2$ 的最小值是_______.

答案    $8\sqrt{11}$.

解析    根据题意,有\[\dfrac 12\cdot bc\cdot \sin A=2,\]且根据余弦定理和均值不等式,有\[\begin{split} a^2+2b^2+3c^2&=3b^2+4c^2-2bc\cos A\\ &\geqslant bc\cdot \left(4\sqrt 3-2\cos A\right)\\ &=\dfrac{16\sqrt 3-8\cos A}{\sin A},\end{split}\]记右侧代数式为 $m$,则\[m\sin A+8\cos A=16\sqrt 3,\]于是\[m^2+8^2\geqslant (16\sqrt 3)^2,\]解得\[m\geqslant 8\sqrt{11}.\]考虑到等号当\[A=\arctan\sqrt{11}\land c=\dfrac{\sqrt 3}2b\]时可以取得,因此所求最小值为 $8\sqrt{11}$.

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