每日一题[1237]错位裂项

已知函数 $f(x)=x\ln x-ax^2+a$($a>0$).

1、当 $x>1$ 时,$f(x)<0$,求实数 $a$ 的取值范围;

2、已知 $n\in\mathbb N$ 且 $n\geqslant 2$,证明:$\dfrac{\ln 2}{3\cdot 5}+\dfrac{\ln3}{5\cdot 7}+\cdots+\dfrac{\ln n}{(2n-1)\cdot (2n+1)}<\dfrac 14$.

解析

1、根据题意,有\[\forall x>1,\ln x-a\left(x-\dfrac 1x\right)<0,\]设不等式左侧函数为 $g(x)$,则\[g'(x)=\dfrac{-ax^2+x-a}{x^2},\]端点分析可得讨论的分界点为 $a=\dfrac 12$.

情形一     $a\geqslant \dfrac 12$.此时\[g(x)\leqslant \ln x-\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right)<0,\]符合题意.

情形二     $a<\dfrac 12$.此时在区间 $\left(1,\dfrac{1+\sqrt{1-4a^2}}{2a}\right)$ 上,有\[g'(x)>0,\]于是 $g(x)$ 单调递增,因此\[g(x)>g(1)=0,\]不符合题意. 综上所述,实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$.

2、根据题意,有\[\begin{split} LHS&=\sum_{k=2}^n\dfrac{\ln k}{(2k-1)(2k+1)}\\ &=\dfrac 12\sum_{k=2}^n\left(\dfrac{\ln k}{2k-1}-\dfrac{\ln k}{2k+1}\right)\\ &=\dfrac{\ln2}{6}+\dfrac 12\sum_{k=2}^{n-1}\left(\dfrac{\ln(k+1)}{2k+1}-\dfrac{\ln k}{2k+1}\right)-\dfrac{\ln n}{4n+2}\\ &=\dfrac {\ln 2}{6}+\dfrac 12\sum_{k=2}^{n-1}\dfrac{\ln \dfrac{k+1}{k}}{2k+1}-\dfrac{\ln n}{4n+2}\\ &<\dfrac{\ln 2}6+\dfrac 12\sum_{k=2}^{n-1}\dfrac{\dfrac 12\left(\dfrac{k+1}{k}-\dfrac{k}{k+1}\right)}{2k+1}-\dfrac{\ln n}{4n+2}\\ &=\dfrac{\ln 2}6+\dfrac 14\sum_{k=2}^{n-1}\left(\dfrac 1k-\dfrac 1{k+1}\right)-\dfrac{\ln n}{4n+2}\\ &=\dfrac{\ln 2}6+\dfrac 18-\dfrac 1{4n}-\dfrac{\ln n}{4n+2}\\ &<\dfrac 14,\end{split}\]其中用到了\[\ln 2<\dfrac 12\left(2-\dfrac 12\right)=\dfrac 34.\]因此原不等式得证.

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