每日一题[1241]完全平方数

设正整数 $d$ 不等于 $2,5,13$,求证在集合 $\{2,5,13,d\}$ 中可以找到两个不同的元素 $a,b$,使得 $ab-1$ 不是完全平方数.

解析    显然\[\begin{split} 2\cdot 5-1&=9,\\ 2\cdot 13-1&=25,\\ 5\cdot 13-1&=64,\end{split}\]均为完全平方数.假设 $2d-1,5d-1,13d-1$ 均为完全平方数.注意到 $2d-1$ 为奇数,于是\[2d-1=(2n-1)^2,\]解得\[d=2n^2-2n+1,\]其中 $n\in\mathbb N^{\ast}$,因此 $d$ 为奇数.此时\[\begin{cases} 5d-1=10n^2-10n+4,\\ 13d-1=26n^2-26n+12,\end{cases}\]注意到 $10n^2-10n+4$ 和 $26n^2-26n+12$ 均为偶数,于是设\[\begin{cases} 5d-1=4p^2,\\ 13d-1=4q^2,\end{cases}\]两式相减可得\[2d=(q-p)(q+p),\]由于 $q-p$ 与 $q+p$ 的同奇同偶,而它们的乘积为偶数,于是必然同为偶数.因此 $d$ 为偶数,矛盾. 综上所述,原命题得证.

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