每日一题[1235]分析端点

已知对任意 $x\in [-1,1]$,均有 $k\ln\sqrt{x^2+1}+\cos x-1\leqslant 0$,求实数 $k$ 的取值范围.

答案    $(-\infty,1]$.

解析    设不等式左侧函数为 $f(x)$,则其为偶函数,只需要考虑 $x\in[0,1]$ 的情形,$f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{kx-(x^2+1)\sin x}{x^2+1},\]令\[g(x)=kx-(x^2+1)\sin x,\]则其导函数\[g'(x)=k-(x^2+1)\cos x-2x\sin x,\]注意到\[g'(0)=k-1,\]因此 $k=1$ 为讨论的分界点. [[case]]情形一[[/case]] $k\leqslant 1$.此时\[f(x)\leqslant \ln\sqrt{x^2+1}+\cos x-1,\]记右侧函数为 $f_0(x)$,则其导函数\[f_0'(x)=\dfrac{x-(x^2+1)\sin x}{x^2+1},\]而\[x-(x^2+1)\sin x<x-(x^2+1)\left(x-\dfrac{x^3}6\right)=\dfrac 16x^3(x^2-5)<0,\]于是函数 $f_0(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减,从而\[f(x)\leqslant f_0(x)\leqslant f_0(0)=0,\]符合题意. [[case]]情形二[[/case]] $k>1$.此时\[g'(x)>k-(x^2+1)\cdot 1-2x\cdot x=k-3x^2-1,\]因此当 $x\in \left[0,\sqrt{\dfrac{k-1}3}\right]$ 时,有\[g'(x)>0,\]此时 $f(x)$ 单调递增,有\[f(x)>f(0)=0,\]不符合题意. 综上所述,实数 $k$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$.

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