每日一题[1236]狐假虎威

已知 $a,b>0$,且 $a+b\geqslant 3$,则 $m=2a^2+b^2+\dfrac{28}{a}+\dfrac 1b$ 的最小值是_______.

答案    $3$.

解析    利用拉格朗日乘数法,令\[F(a,b,\lambda)=2a^2+b^2+\dfrac {28}{a}+\dfrac 1b+\lambda (a+b-3),\]则\[\begin{cases} 4a-\dfrac{28}{a^2}+\lambda =0,\\ 2b-\dfrac{1}{b^2}+\lambda =0,\\ a+b-3=0,\end{cases}\]解得\[(a,b,\lambda)=(2,1,-1).\] 考虑切线放缩,有\[\begin{cases} 2a^2+\dfrac{28}{a}\geqslant a+20,\\ b^2+\dfrac 1b\geqslant b+1,\end{cases}\]于是\[m\geqslant (a+b)+21\geqslant 24,\]等号当且仅当 $(a,b)=(2,1)$ 时取得.因此所求的最小值为 $3$.

 

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