每日一题[1354]不在中边路

已知 $x,y\geqslant 0$,且 $x+y=4$,则 $m=(x^2+1)(y^2+1)$ 的最小值为_______.

答案    $16$.

解析    根据题意,有\[\begin{split} m&=(xy)^2+(x+y)^2-2xy+1\\ &=(xy)^2-2xy+17\\ &=(xy-1)^2+16\\ &\geqslant 16,\end{split}\]等号当 $xy=1$ 时取得,因此所求的最小值为 $16$.

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每日一题[1354]不在中边路》有 1 条评论

  1. arockmath arockmath说:

    用柯西不等式\[m=(1+x^2)(y^2+1)\geq(x+y)^2=16\]也可以。不过解析里配方的方法还可以求最大值,柯西不等式就做不到了

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