每日一题[1359]格点组合

坐标平面上的整点(横、纵坐标均为整数的点)到直线 $y=\dfrac 53x+\dfrac 45$ 的距离的最小值为(       )

A.$\dfrac{\sqrt{34}}{170}$

B.$\dfrac{\sqrt{34}}{85}$

C.$\dfrac1{20}$

D.$\dfrac1{30}$

答案    B.

解析    题中直线即\[l:25x-15y+12=0,\]于是点 $P(m,n)$($m,n\in\mathbb Z$)到直线 $l$ 的距离\[d(m,n)=\dfrac{|25m-15n+12|}{\sqrt{25^2+15^2}}=\dfrac{|5(5m-3n)+12|}{5\sqrt{34}}\geqslant \dfrac{2}{5\sqrt{34}}=\dfrac{\sqrt{34}}{85},\]等号当 $5m-3n=-2$ 时(如 $(m,n)=(2,4)$)取得,因此所求最小值为 $\dfrac{\sqrt{34}}{85}$.

备注    根据裴蜀定理,$5m-3n$($m,n\in\mathbb Z$)可以表示所有整数.

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