每日一题[1358]空间曲线

如图,在矩形 $ABCD$ 中,$E$ 为边 $AD$ 上的动点,将 $\triangle ABE$ 沿直线 $BE$ 翻转成 $\triangle A_1BE$,使平面 $A_1BE\perp ABCD$,则点 $A_1$ 的轨迹是(       )

A.线段

B.圆弧

C.抛物线的一部分

D.以上答案都不对

答案    D.

解析    建立空间直角坐标系 $A-BDz$,设 $\angle EBA=\theta$,$AB=a$,则 $A_1(x,y,z)$ 满足\[\begin{cases} x=a\sin^2\theta,\\ y=a\sin\theta\cos\theta,\\ z=a\sin\theta,\end{cases}\]接下来证明若 $0<\alpha<\beta<\gamma<\dfrac{\pi}2$,则当 $\theta$ 分别取 $0,\alpha,\beta,\gamma$ 时对应的点 $O,P,Q,R$ 不共面,进而可得点 $A_1$ 的轨迹不是平面曲线.用反证法,若不然,则存在实数 $\lambda,\mu$ 使得\[\overrightarrow{OR}=\lambda\overrightarrow{OP}+\mu\overrightarrow{OQ},\]也即\[\begin{split} \lambda\sin\alpha+\mu\sin\beta&=\sin\gamma,\\ \lambda\sin^2\alpha+\mu\sin^2\beta&=\sin^2\gamma,\\ \lambda\sin\alpha\cos\alpha+\mu\sin\beta\cos\beta&=\sin\gamma\cos\gamma,\end{split}\]记\[s=\dfrac{\lambda\sin\alpha}{\sin\gamma},t=\dfrac{\mu\sin\beta}{\sin\gamma},\]则\[\begin{split} s+t&=1,\\ s\sin\alpha+t\sin\beta&=\sin\gamma,\\ s\cos\alpha+t\cos\beta&=\cos\gamma,\end{split}\]设平面坐标系 $xO'y$ 上 $P_1(\cos\alpha,\sin\alpha)$,$P_2(\cos\beta,\sin\beta)$,$P_3(\cos\gamma,\sin\gamma)$,则 $P_1,P_2,P_3$ 是单位圆上的三点,满足\[s\overrightarrow{O'P_1}+(1-s)\overrightarrow{O'P_2}=\overrightarrow{O'P_3},\]根据三点共线的向量表达,有 $P_1,P_2,P_3$ 三点共线,与三点共圆矛盾. 因此点 $A_1$ 的轨迹不是平面曲线.

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