每日一题[1355]根系关系

已知函数 $f(x)=2ax^2+3b$($a,b\in\mathbb R$)满足对任意 $x\in [-1,1]$,都有 $|f(x)|\leqslant 1$ 成立,则 $ab$ 的最大值是______.

答案    $\dfrac{1}{24}$.

解法一    题中条件等价于\[\begin{cases} |2a+3b|\leqslant 1,\\ |3b|\leqslant 1,\end{cases}\]先考虑 $a,b$ 同号的情形(因为若此情形下有解,那么当 $a,b$ 不同号时,或者无解或者 $ab<0$,不影响求解最大值),根据对称性不妨设 $a,b\geqslant 0$,此时有\[1\geqslant 2a+3b\geqslant 2\sqrt{6ab},\]于是\[ab\leqslant \dfrac{1}{24},\]等号当 $2a=3b=\dfrac 12$ 时可以取得,因此 $a,b$ 的最大值为 $\dfrac{1}{24}$.

解法二    根据题意,有\[\begin{cases} f(1)=2a+3b,\\ f(0)=3b,\end{cases}\]于是\[ab=\dfrac{f(1)-f(0)}2\cdot \dfrac{f(0)}3\leqslant \dfrac{1}{24}\cdot f^2(1)\leqslant \dfrac{1}{24},\]等号当 $f(1)=0$,$f(0)=\dfrac 12$ 时取得,因此所求最大值为 $\dfrac{1}{24}$.

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