每日一题[1352]必要条件探路

已知对任意的 $x\in\mathbb R$,$3a(\sin x+\cos x)+2b\sin 2x\leqslant 3$($a,b\in\mathbb R$)恒成立,则当 $a+b$ 取得最小值时,$a$ 的值是_______.

答案    $-\dfrac 45$.

解析    题意即\[\forall t\in \left[-\sqrt 2,\sqrt 2\right],3at+2b(t^2-1)\leqslant 3,\]令\[3t=2(t^2-1),\]即\[t=-\dfrac 12,\]可得\[-\dfrac 32(a+b)\leqslant 3,\]于是得到实数 $a,b$ 需要满足的必要条件\[a+b\geqslant -2.\]接下来证明 $a+b$ 的最小值为 $-2$,也即 $a+b$ 可以取得 $-2$.令 $a=-2-b$,则\[3at+2b(t^2-1)-3=2bt^2-(3b+6)t-2b-3,\]对应的判别式\[\Delta=(3b+6)^2+8b(2b+3)=(5b+6)^2,\]于是取 $b=-\dfrac 65$,$a=-\dfrac 45$,则符合题意. 综上所述,当 $a+b$ 取得最小值时,$a=-\dfrac 45$.

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