每日一题[1357]重组计划

使得函数 $y=\sqrt{(x-1)^2+(x-4)^2}+\sqrt{(x+3)^2+(x-2)^2}$ 取最小值的 $x$ 的值是_______.

答案    $\dfrac{11}8$.

解析    题中函数即\[y=\sqrt{2x^2-10x+17}+\sqrt{2x^2+2x+13},\]也即\[y=\sqrt 2\cdot \left(\sqrt{\left(x-\dfrac 52\right)^2+\dfrac 94}+\sqrt{\left(x+\dfrac 12\right)^2+\dfrac{25}4}\right),\]设 $A\left(\dfrac 52,\dfrac 32\right)$,$B\left(-\dfrac 12,-\dfrac 52\right)$,则当 $P(x,0)$ 在线段 $AB$ 上时,$y$ 取得最小值,利用截距坐标公式,可得此时\[x=\dfrac{\dfrac 52\cdot \left(-\dfrac 52\right)-\left(-\dfrac 12\right)\cdot \dfrac 32}{-\dfrac 52-\dfrac 32}=\dfrac{11}8.\]

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