每日一题[1360]染立方

从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六面体染色,每面洽染一种颜色,每两个具有公共棱的面染成不同颜色,则不同的染色方案有_______种.(注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同.)

答案    $230$.

解析    按相对的面颜色相同的组数分类讨论.

情形一    $0$ 组.此时六个面是不同的颜色,将下面固定为某种颜色,则其对面有 $5$ 种染色方案,其余 $4$ 面有 $(4-1)!=6$ 种染色方案(注意圆排列),共 $30$ 种染色方案

情形二    $1$ 组.此时设上下两面为同色,有 $6$ 种染色方案,其余 $4$ 面有 ${\rm C}_5^4(4-1)!=30$ 种染色方案.考虑到上下可以对调,因此其余四面互逆的染色方案相同,因此共有 $90$ 种染色方案.

情形三    $2$ 组.让这 $2$ 组对面构成除上下面的 $4$ 个面,有 ${\rm C}_6^2=15$ 种染色方案.此时上下底面有 ${\rm C}_4^2=6$ 种染色方案,因此共有 $90$ 染色方案.

情形四    $3$ 组.此时有 ${\rm C}_6^3=20$ 种染色方案.

因此所有的染色方案数为\[30+90+90+20=230.\]

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