每日一题[1383]整体代换

已知 $x\in\mathbb R$,解方程 $\sqrt{2x^2+x+5}+\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{x^2-3x+13}$.

解析    根据题意,设\[\begin{cases} A=2x^2+x+5,\\ B=x^2+x+1,\\ C=x^2-3x+13,\end{cases}\]则\[C=4A-7B,\]于是方程即\[\sqrt A+\sqrt B=\sqrt{4A-7B},\]也即\[3A-8B=2\sqrt{AB},\]也即\[9A^2-52AB+64B^2=0,\]也即\[(A-4B)(9A-16B)=0,\]也即\[2x^2+3x-1=0\lor 2x^2-7x+29=0,\]解得\[x=\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}4.\]

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