每日一题[1389]裂项求和

已知数列 $\{a_n\}$ 是首项和公差相等的等差数列,其前 $n$ 项和为 $S_n$,且 $S_{10}=55$.数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1=1$,且当 $n\geqslant 2$ 时,$b_n=\dfrac{2^{n-1}a_{n-1}}{2S_n}$.若数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$,则 $T_{100}=$(       )

A.$\dfrac{2^{101}}{101}$

B.$\dfrac{2^{100}}{100}$

C.$\dfrac{2^{100}}{101}$

D.$\dfrac{2^{101}}{100}$

答案    C.

解析    根据题意,有\[a_n=n,S_n=\dfrac{n(n+1)}2,\]于是\[b_n=\dfrac{2^{n-1}\cdot (n-1)}{n(n+1)}=\dfrac{2^n}{n+1}-\dfrac{2^{n-1}}{n},\]从而\[T_{100}=\dfrac{2^{100}}{101}.\]

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每日一题[1389]裂项求和》有 1 条评论

  1. cbc123e说:

    数列{bn}满足b1 ? 应该是打掉了。

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