每日一题[1386]焦点三角形的内切圆

已知 $F_1,F_2$ 分别为双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的左、右焦点,过 $F_2$ 的直线 $l$ 与双曲线的右支分别交于 $A,B$ 两点,$\triangle AF_1F_2$ 的内切圆半径为 $r_1$,$\triangle BF_1F_2$ 的内切圆半径为 $r_2$,若 $r_1=2r_2$,则直线 $l$ 的斜率为(       )

A.$\pm 1$

B.$\pm \sqrt 2$

C.$\pm 2$

D.$\pm 2\sqrt 2$

答案    D.

解析    设 $\triangle AF_1F_2$ 的内切圆圆心为 $I_1$,$\triangle BF_1F_2$ 的内切圆圆心为 $I_2$,$I_1,I_2$ 在 $AB$ 上的投影分别为 $H_1,H_2$,根据双曲线焦点三角形的性质,$I_1,I_2$ 在 $F_1F_2$ 上的投影为双曲线的右顶点 $H$,如图.

设直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$,则\[\sin\theta=\sin\angle HI_1H_1=\sqrt{1-\cos^2\angle HI_1H_1}=\sqrt{1-\left(\dfrac{r_1-r_2}{r_1+r_2}\right)^2}=\dfrac{2\sqrt 2}3,\]进而所求斜率为 $\pm 2\sqrt 2$.

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