每日一题[1391]衔接

求最小的正整数 $n$,使得当正整数 $k \geqslant n$ 时,在前 $k$ 个正整数构成的集合 $M=\{1,2,\cdots,k\}$ 中,对任何 $x\in M$,总存在另一数 $y\in M$($y \ne x$),满足 $x+y$ 为平方数.

答案    $7$.

解析    若集合 $M=\{1,2,\cdots,k\}$ 满足对任何 $x\in M$,总存在另一数 $y\in M$($y \ne x$),使得 $x+y$ 为平方数,则称 $k$ 是好数.显然 $6$ 不是好数(取 $x=2$,则在 $\{1,2,3,4,5,6\}$ 中找不到使得 $x+y$ 为完全平方数的数 $y$),因此 $n\geqslant 7$.注意到 $7$ 是好数,接下来尝试证明所有不小于 $7$ 的数均为好数.给出

引理    当 $7\leqslant k\leqslant m^2$($m\geqslant 3$ 且 $m\in\mathbb N$)时,$k$ 为好数.

引理的证明    对 $m$ 进行归纳.当 $m=3$ 时,容易验证 $k=7,8$ 均为好数. 假设命题对 $m$ 成立,则考虑 $7\leqslant k\leqslant (m+1)^2$ 的情形,只需要证明 $k=m^2+r$,其中 $r=1,2,\cdots,2m+1$ 的情形.当 $r=1,2,\cdots,2m$ 时,有\[(m^2+r)+(2m+1-r)=(m+1)^2,\]当 $r=2m+1$ 时,有\[(m^2+r)+(2m+3)=(m+2)^2,\]显然 $2m+1-r$($r=1,2,\cdots,2m$)以及 $2m+3$ 都在集合 $\left\{1,2,3,\cdots,m^2\right\}$ 中,于是当 $7\leqslant k\leqslant (m+1)^2$ 时,$k$ 均为好数. 综上所述,引理得证. 根据引理,符合题意的最小正整数 $n$ 为 $7$.

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