已知 $x{\rm e}^x-\ln x-ax\geqslant 1$ 对任意 $x>0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
答案 $(-\infty,1]$．
解法一 分离变量，问题即\[\forall x>0,a\leqslant {\rm e}^x-\dfrac{\ln x}x-\dfrac 1x,\]记右侧函数为 $f(x)$，则其导函数\[f'(x)=\dfrac{{\rm e}^x\cdot x^2+\ln x}{x^2},\]注意到分子部分单调递增且当 $x\to 0+$ 时趋于 $-\infty$，当 $x=1$ 时为正值，因此 $f'(x)$ 有唯一零点 $m$，且 $f(x)$ 在 $(0,m)$ 上单调递减，在 $(m,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=m$ 处取得极小值亦为最小值 $f(m)$，其中 $m$ 是关于 $x$ 的方程\[x^2{\rm e}^x+\ln x=0\]的解．该方程即\[{\rm e}^x\cdot \ln{\rm e}^x=\dfrac 1x\cdot \ln \dfrac 1x,\]注意到函数 $y=x\ln x$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，于是该方程即\[{\rm e}^x=\dfrac 1x,\]从而\[m{\rm e}^m=-\dfrac{\ln m}{m}=1.\]进而\[f(m)={\rm e}^m-\dfrac{\ln m}m-\dfrac 1m=1,\]因此所求实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$．
解法二 分离变量，问题即\[\forall x>0,a\leqslant {\rm e}^x-\dfrac{\ln x}x-\dfrac 1x,\]记右侧函数为 $f(x)$，则\[f(x)=\dfrac{x{\rm e}^x-\ln x-1}{x}=\dfrac{{\rm e}^{x+\ln x}-\ln x-1}{x}\geqslant \dfrac{(x+\ln x+1)-\ln x-1}{x}=1,\]等号当 $x+\ln x=0$ 时取得，因此实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$．
备注 实际上，方程 $x+\ln x=0$ 的解即 $x=W(1)$，其中 $W(x)$ 为朗博函数．