每日一题[1385]朗博函数

已知 $x{\rm e}^x-\ln x-ax\geqslant 1$ 对任意 $x>0$ 恒成立,则实数 $a$ 的取值范围是_______.

答案    $(-\infty,1]$.

解法一    分离变量,问题即\[\forall x>0,a\leqslant {\rm e}^x-\dfrac{\ln x}x-\dfrac 1x,\]记右侧函数为 $f(x)$,则其导函数\[f'(x)=\dfrac{{\rm e}^x\cdot x^2+\ln x}{x^2},\]注意到分子部分单调递增且当 $x\to 0+$ 时趋于 $-\infty$,当 $x=1$ 时为正值,因此 $f'(x)$ 有唯一零点 $m$,且 $f(x)$ 在 $(0,m)$ 上单调递减,在 $(m,+\infty)$ 上单调递增,在 $x=m$ 处取得极小值亦为最小值 $f(m)$,其中 $m$ 是关于 $x$ 的方程\[x^2{\rm e}^x+\ln x=0\]的解.该方程即\[{\rm e}^x\cdot \ln{\rm e}^x=\dfrac 1x\cdot \ln \dfrac 1x,\]注意到函数 $y=x\ln x$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增,于是该方程即\[{\rm e}^x=\dfrac 1x,\]从而\[m{\rm e}^m=-\dfrac{\ln m}{m}=1.\]进而\[f(m)={\rm e}^m-\dfrac{\ln m}m-\dfrac 1m=1,\]因此所求实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$.

解法二    分离变量,问题即\[\forall x>0,a\leqslant {\rm e}^x-\dfrac{\ln x}x-\dfrac 1x,\]记右侧函数为 $f(x)$,则\[f(x)=\dfrac{x{\rm e}^x-\ln x-1}{x}=\dfrac{{\rm e}^{x+\ln x}-\ln x-1}{x}\geqslant \dfrac{(x+\ln x+1)-\ln x-1}{x}=1,\]等号当 $x+\ln x=0$ 时取得,因此实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$.

备注    实际上,方程 $x+\ln x=0$ 的解即 $x=W(1)$,其中 $W(x)$ 为朗博函数.

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