每日一题[1384]钝角空间

空间中从同一点出发两两成钝角的射线最多有多少条?证明你的结论.

证明    可以证明一个更强的结论:

引理    已知 $n\geqslant 2$,且 $n\in\mathbb N$,则最多有 $n+1$ 个 $n$ 维向量,使得它们中任意两个的数量积均为负数.

引理的证明    先构造 $n+1$ 个向量的例子,$\overrightarrow p_i$ 只在第 $i$ 个分量上为 $-1$,其分量均为 $\dfrac 1n$,如\[\overrightarrow p_3=\left(\dfrac 1n,\dfrac 1n,-1,\dfrac 1n,\cdots,\dfrac 1n\right),\]而\[\overrightarrow p_{n+1}=(1,1,\cdots,1),\]则当 $1\leqslant i<j<n+1$ 时,有\[\overrightarrow p_i\cdot \overrightarrow p_j=-\dfrac 2n+\dfrac{n-2}{n^2}=\dfrac{-n-2}{n^2}<0,\]当 $j=n+1$ 时,有\[\overrightarrow p_i\cdot \overrightarrow p_j=\dfrac{n-1}{n}-1=-\dfrac 1n<0,\]符合要求. 接下来证明不可能存在符合要求的 $n+2$ 个向量.用反证法.若有 $n+2$ 个向量符合要求,设为 $\overrightarrow p_i$($i=1,2,\cdots,n,n+1,n+2$),由于 $\overrightarrow p_1,\overrightarrow p_2,\cdots,\overrightarrow p_n,\overrightarrow p_{n+1}$ 线性相关,于是\[\lambda_1\overrightarrow p_1+\lambda_2\overrightarrow p_2+\cdots+\lambda_n\overrightarrow p_n+\lambda_{n+1}\overrightarrow p_{n+1}=\overrightarrow 0,\]其中 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n,\lambda_{n+1}$ 均为实数且不全为零.两边对 $\overrightarrow p_{n+2}$ 作数量积,则\[\lambda_1\mu_1+\lambda_2\mu_2+\cdots+\lambda_{n+1}\mu_{n+1}=0,\]其中 $\mu_i$($i=1,2,\cdots,n+1$)均为负数,因此 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n,\lambda_{n+1}$ 必然同时有正数和负数.在 $\lambda_i\overrightarrow p_i$($i=1,2,\cdots,n+1$)中舍去为系数 $0$ 的项,将系数为正数的项留在左侧,系数为负数的项移到右侧,可得\[\lambda_{i_1}\overrightarrow p_{i_1}+\cdots+\lambda_{i_k}\overrightarrow p_{i_k}=(-\lambda_{j_1})\overrightarrow p_{j_1}+\cdots+(-\lambda_{j_l})\overrightarrow p_{j_l},\]其中 $\lambda_{i_1},\cdots,\lambda_{i_k},-\lambda_{j_1},\cdots,-\lambda_{j_l}$ 均为正数.记左侧向量与右侧向量均为 $\overrightarrow v$,左右两侧作数量积,有\[\overrightarrow v\cdot \overrightarrow v=\left(\lambda_{i_1}\overrightarrow p_{i_1}+\cdots+\lambda_{i_k}\overrightarrow p_{i_k}\right)\cdot \left((-\lambda_{j_1})\overrightarrow p_{j_1}+\cdots+(-\lambda_{j_l})\overrightarrow p_{j_l}\right)<0,\]矛盾.因此不可能存在符合要求的 $n+2$ 个向量,引理得证.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论