每日一题[1382]对称的角

已知 $n$ 是奇数,且 $a_k=k=a_{n-k+1}$,$1\leqslant k\leqslant \dfrac{n+1}2$,则\[\dfrac{a_1\sin\alpha+a_2\sin 2\alpha+\cdots+a_n\sin n\alpha}{a_1\cos\alpha+a_2\cos 2\alpha+\cdots+a_n\cos n\alpha}\]的值为_______.

答案    $\tan\dfrac{n+1}2\alpha$.

解析    设复数 $z_k=(k\alpha:a_k)$,则复数 $z_k$ 和 $z_{n-k+1}$ 的模相等,进而 $z_k+z_{n-k+1}$ 的辐角为 $\dfrac{n+1}\alpha$,进而所求代数式为\[\tan\arg(z_1+z_2+\cdots+z_n)=\tan\dfrac{n+1}2\alpha.\]

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