已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，对任意的$n\in\mathbb N^*$，$S_n=(-1)^na_n+\dfrac{1}{2^n}+n-3$且$(a_{n+1}-p)(a_n-p)<0$恒成立，则实数$p$的取值范围是_______．
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设$a_1>\dfrac{1}{12}$，且$a_{n+1}=\sqrt{(n+2)a_n+1}$，$n\in\mathbb N^*$．
(1) 求证：$a_n>n-\dfrac 2n$；
(2) 设$b_n=2^n\left(\dfrac{a_n}n-1\right)$，求证：当$\dfrac{1}{12}<a_1<1$时，$b_n<b_{n+1}<0$；当$a_1>1$时，$0<b_{n+1}<b_n$．
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已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)，$c,e$分别为椭圆$E$的半焦距和离心率，$F_1,F_2$分别为椭圆的左、右焦点．下列命题：
$(1)$设$A$为椭圆上任一点，其到直线$l_1:x=-\dfrac{a^2}{c}$，$l_2:x=\dfrac{a^2}{c}$的距离分别为$d_1,d_2$，则$\dfrac{|AF_1|}{d_1}=\dfrac{|AF_2|}{d_2}$；
$(2)$设$A$为椭圆上任一点，$AF_1,AF_2$分别于椭圆交于$B,C$两点，则$$\dfrac{|AF_1|}{|F_1B|}+\dfrac{|AF_2|}{|F_2C|}\geqslant 2\cdot \dfrac{1+{e}^2}{1-{e}^2},$$当且仅当点$A$在椭圆的顶点取到等号；
$(3)$设$A$为椭圆上任一点，过$A$的椭圆切线为$l$，$M$为线段$F_1F_2$上一点，且$\dfrac{|AF_1|}{|AF_2|}=\dfrac{|F_1M|}{|MF_2|}$，则直线$AM\perp l$；
$(4)$面积为$2ab$的椭圆内接四边形仅有$1$个．
其中正确的命题个数为( )
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．$4$
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设$P$为椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)上的点，$A,B$分别为双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$两渐近线上的动点，且$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$（$\lambda$为常数）．设$O$为坐标原点，若$\triangle AOB$面积的最大值为$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\cdot \dfrac{(1+\lambda)^2}{4|\lambda|}$，则$\dfrac 1a+\dfrac 7b$的取值范围是______．
已知关于$x$的方程${\rm e}^{-x}+2=|\ln x|$的两个实数解为$x_1,x_2$($x_1<x_2$)，则( )
A．$0<x_1x_2<{\rm e}^{-1}$
B．$x_1x_2={\rm e}^{-1}$
C．${\rm e}^{-1}<x_1x_2<1$
D．以上答案都不对
甲乙两人在沙滩上玩鹅卵石游戏，现有$15$块鹅卵石，甲乙两人轮流从石堆中拿出鹅卵石，每次每人拿的石块数只能是$1,2$或$3$，直到鹅卵石全部拿完游戏结束．如果当游戏结束时，总共拿到奇数个鹅卵石的人获胜，请问是否有必胜策略．
设实数$a\geqslant 2$，方程$x^2-ax+1=0$的两根分别为$x_1,x_2$，$a_n=x_1^n+x_2^n$($n=1,2,\cdots$)，$b_n=\dfrac{a_n}{a_{n+1}}$．
(1)用$b_n$表示$b_{n+1}$，并判断数列$\{b_n\}$的单调性；
(2)求所有实数$a$的值，使得对任意正整数$n$都有$b_1+b_2+\cdots+b_n>n-1$．
求证：$\sqrt{2012+\sqrt{2011+\sqrt{\cdots+\sqrt{2+\sqrt 1}}}}<46$．
已知矩形$ABCD$中$AB=\sqrt 2BC$，以$CD$为直径向矩形外作半圆，设$P$为半圆上任意一点，直线$PA,PB$分别与$CD$相交于点$M,N$，求证：$CD^2=CM^2+DN^2$．
