Math173

已知 $a,b,c>0$，且 $a+3b+c=9$，则 $a+b^2+c^3$ 的最小值为_______．

继续阅读 →

已知 $a,b,c>0$，且 $abc=1$，求证：$\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\leqslant \dfrac 12$．

继续阅读 →

设双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）右支上一动点 $P$，过 $P$ 向双曲线的渐近线作垂线，垂足分别为 $A$ 与 $B$，若 $A,B$ 始终在第一、四象限内，$O$ 为坐标原点，则此双曲线的离心率 $e$ 的取值范围为（       ）

A．$\left(1,\sqrt 3\right]$

B．$(1,3]$

C．$\left(1,\sqrt 2\right]$

D．$(1,2]$

继续阅读 →

已知 $x+y+z=0$，求证：$\dfrac{x^5+y^5+z^5}5=\dfrac{x^2+y^2+z^2}2\cdot \dfrac{x^3+y^3+z^3}3$．

继续阅读 →

已知函数 $f(x)=(x+1){\rm e}^{ax}$（$a\ne 0$）在点 $\left(\dfrac 2a,f\left(\dfrac 2a\right)\right)$ 处的切线斜率为 $0$．

1、求 $a$ 的值．

2、求 $f(x)$ 在 $[t-1,t+1]$ 上的最大值．

3、设 $g(x)=f(x)+2x+3x\ln x$，求证：对任意 $x_1,x_2\in(0,1)$ 都有 $|g(x_1)-g(x_2)|<\dfrac 2{{\rm e}^3}+\dfrac 3{{\rm e}}+1$．

继续阅读 →

已知 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心，有 $|AB|=2$，$|AC|=4$，则 $|AO|\cdot |BC|$ 的最小值是_______．

继续阅读 →

如图，正四面体 $ABCD$ 中，点 $P,Q,R$ 分别在棱 $AB,AD,AC$ 上，且 $AQ=QD$，$\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{CR}{RA}=\dfrac 12$，分别记二面角 $A-PQ-R$，$A-PR-Q$，$A-QR-P$ 的平面角为 $\alpha,\beta,\gamma$，则（       ）

A．$\beta>\gamma>\alpha$

B．$\gamma>\beta>\alpha$

C．$\alpha>\gamma>\beta$

D．$\alpha>\beta>\gamma$

继续阅读 →

关于 $x$ 的方程 $\lg (1-2^x+5^x-20^x+50^x)=2x$ 的解集是_______．

继续阅读 →

如图，矩形 $ABCD$ 沿对角线 $BD$ 将 $\triangle ABD$ 翻折成 $\triangle A'BD$，异面直线 $CD$ 与 $A'B$ 所成的角为 $\alpha$，则（       ）

A．$\alpha<\angle A'CD$

B．$\alpha>\angle A'CD$

C．$\alpha<\angle A'CA$

D．$\alpha>\angle A'CA$

继续阅读 →

等腰直角三角形 $ABE$ 的斜边为正四面体 $ABCD$ 的侧棱，直角边 $AE$ 绕斜边 $AB$ 旋转，则在旋转的过程中，下列说法正确的有（       ）

A．四面体 $E-BCD$ 的体积有最大值和最小值

B．存在某个位置，使得 $AE\perp BD$

C．设二面角 $D-AB-E$ 的平面角为 $\theta$，则 $\theta\geqslant \angle DAE$

D．$AE$ 的中点 $M$ 与 $AB$ 的中点 $N$ 连线交平面 $BCD$ 于点 $P$，则点 $P$ 的轨迹为椭圆

继续阅读 →