每日一题[1418]构造递推

已知 $x+y+z=0$,求证:$\dfrac{x^5+y^5+z^5}5=\dfrac{x^2+y^2+z^2}2\cdot \dfrac{x^3+y^3+z^3}3$.

解法一    记 $a_n=x^n+y^n+z^n$,其中 $n\in\mathbb N$,则\[a_{n+3}=\sum_{\rm cyc}x\cdot a_{n+2}-\sum_{\rm cyc}xy\cdot a_{n+1}+\sum_{\rm cyc}xyz\cdot a_n.\]记 $\sum_{\rm cyc}xy=p$,$\sum_{\rm cyc}xyz=q$,则\[a_{n+3}=-pa_{n+1}+qa_n,\]其中 $a_0=3$,$ a_1=0$,$a_2=-2p$.进而\[\begin{array} {c|cccccc}\hline n&0&1&2&3&4&5\\ \hline a_n&3&0&-2p&3q&2p^2&-5pq\\ \hline\end{array}\]于是\[\dfrac{a_5}5=-p\cdot q=\dfrac{a_2}2\cdot \dfrac{a_3}3,\]命题得证.

解法二    将 $z=-x-y$ 代入,有\[LHS=-x^4y-2x^3y^2-2x^2y^3-xy^4=-xy(x+y)(x^2+xy+y^2),\]而\[RHS=(x^2+xy+y^2)\cdot (-xy(x+y)),\]因此命题得证.

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