每日一题[1419]移形换影

设双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)右支上一动点 $P$,过 $P$ 向双曲线的渐近线作垂线,垂足分别为 $A$ 与 $B$,若 $A,B$ 始终在第一、四象限内,$O$ 为坐标原点,则此双曲线的离心率 $e$ 的取值范围为(       )

A.$\left(1,\sqrt 3\right]$

B.$(1,3]$

C.$\left(1,\sqrt 2\right]$

D.$(1,2]$

答案    C.

解析    根据题意,过 $O$ 且与双曲线 $C$ 的渐近线垂直的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相离,也即\[l:ax-by=0\]与双曲线 $C$ 相离.

情形一     $a=b$.此时直线 $l$ 为双曲线的渐近线,符合题意.

情形二     $a\ne b$.根据直线与双曲线联立的等效判别式,有\[\Delta_x=0-(a^4-b^4)<0,\]也即\[a>b.\] 综上所述,题意即 $a\geqslant b$,对应离心率 $e$ 的取值范围是 $\left(1,\sqrt 2\right]$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论