每日一题[1416]消弭外心

已知 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心,有 $|AB|=2$,$|AC|=4$,则 $|AO|\cdot |BC|$ 的最小值是_______.

答案    $6$.

解法一    设 $|BC|=2x$,则根据海伦公式,有 $\triangle ABC$ 的面积\[S=\sqrt{(3+x)(1+x)(-1+x)(3-x)}=\sqrt{(9-x^2)(x^2-1)},\]于是\[|AO|=\dfrac{|AB|\cdot |BC|\cdot |CA|}{4S}=\dfrac{4x}{\sqrt{(9-x^2)(x^2-1)}},\]因此\[ |AO|\cdot |BC|=\dfrac{8x^2}{\sqrt{(9-x^2)(x^2-1)}}=\dfrac{8}{\sqrt{-1+\dfrac{10}{x^2}-\dfrac 9{x^4}}}\geqslant 6,\]等号当 $x=\dfrac{3}{\sqrt 5}$ 时取得,因此所求的最小值为 $6$.

解法二    根据题意,应用正弦定理和余弦定理有\[\begin{split} |AO|\cdot |BC|&=\dfrac 12\cdot \dfrac{|BC|^2}{\sin A}\\ &=\dfrac{10-8\cos A}{\sin A}\\ &\geqslant \dfrac{\sqrt{10^2-8^2}\cdot \sqrt{1-\cos^2A}}{\sin A}\\ &=6,\end{split}\]等号当 $\cos A=\dfrac 45$ 时取得,因此所求最小值为 $6$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论