Math173

已知 $a,b>0$，且 $a+b\geqslant 3$，则 $m=2a^2+b^2+\dfrac{28}{a}+\dfrac 1b$ 的最小值是_______．

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已知对任意 $x\in [-1,1]$，均有 $k\ln\sqrt{x^2+1}+\cos x-1\leqslant 0$，求实数 $k$ 的取值范围．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac {y^2}3=1$，$A,B$ 是椭圆上两点，且 $A$ 在第一象限，$O$ 为坐标原点，$\triangle OAB$ 的面积记为 $S$．

1、若点 $A$ 的坐标为 $\left(1,\dfrac 32\right)$，求 $S$ 的最大值；

2、设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，且 $3y_1+y_2=0$，求当 $S$ 取得最大值时，直线 $AB$ 的方程．

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已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}={\rm e}^{a_n-1}$．

1、证明：$a_{n+1}>a_n$；

2、设 $b_n=1-a_n$，是否存在实数 $M>0$，使得 $b_1+b_2+\cdots+b_n\leqslant M$ 对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 成立？若存在，求出 $M$ 的一个值；若不存在，请说明理由．

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过椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）外一点 $P$ 作椭圆的两条切线 $PA,PB$，切点分别为 $A,B$．过 $P$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $M,N$，过 $M$ 作 $PB$ 的平行线与直线 $AB,NB$ 分别交于 $S,T$，求证：$SM=ST$．

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已知直线 $l:kx-y-k+1=0$，$f(x)=\begin{cases} x^3-3x^2+2x+1,&x\leqslant 2,\\ ax-2a+1,&x>2.\end{cases}$ 直线 $l$ 与 $f(x)$ 的图象的三个交点的横坐标分别为 $x_1,x_2,x_3$．若对于任意的 $0<k<3$，总有 $x_1+x_2+x_3<3$，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

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已知 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$ 是函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 与 $g(x)=\dfrac{k}{x^2}$ 图象的两个不同的交点，则 $f(x_1+x_2)$ 的取值范围是（       ）

A．$\left(\dfrac{\rm e}2\ln\dfrac{2}{\rm e},+\infty\right)$

B．$\left(\dfrac{\rm e}2\ln\dfrac{2}{\rm e},\dfrac{1}{\rm e}\right)$

C．$\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$

D．$\left(\dfrac{\rm e}2\ln\dfrac{2}{\rm e},0\right)$

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已知 $M$ 是函数 $f(x)={\rm e}^{x^2-3x+\frac {13}4}-8\cos\dfrac{\pi (1-2x)}{2}$ 在 $(0,+\infty)$ 上的所有零点之和，则 $M$ 的值是（       ）

A．$3$

B．$6$

C．$9$

D．$12$

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已知正四面体 $P-ABC$ 中，$D,E,F$ 分别在棱 $PA,PB,PC$ 上，若 $PE\ne PF$，且 $DE=DF=\sqrt 7$，$EF=2$，则四面体 $P-DEF$ 的体积为[[nn]]．

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设 $f(x)=ax+b$，其中 $a,b$ 为实数，$f_1(x)=f(x)$，且 $f_{n+1}(x)=f(f_n(x))$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，若 $f_8(x)=256x-510$，则 $a+b$ 的值可能为（       ）

A．$0$

B．$2$

C．$4$

D．$-4$

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