已知函数 \(f(x)=x+\dfrac ax\)（\(a>0\)），若对任意的 \(m,n,p\in\left[\dfrac 13,1\right]\)，长为 \(f(m),f(n),f(p)\) 的三条线段均可以构成三角形，则实数 \(a\) 的取值范围是_______．
已知函数 \(f(x)=x^3+px^2+qx\) 与 \(x\) 轴相切于点 \(\left(x_0,0\right)\)（\(x_0\ne 0\)），且极小值为 \(-4\)，则 \(p+q\) 的值是（ ）
A．\(12\)
B．\(13\)
C．\(15\)
D．\(16\)
已知坐标平面 $xOy$ 上 $N$ 为圆 $x^2+y^2=1$ 上的一个动点，平面内动点 $M(x_0,y_0)$ 满足 $|y_0|\geqslant 1$ 且 $\angle OMN=30^\circ$，则动点 $M$ 运动的区域面积是______．
1．已知正实数 $a,b,c$ 满足 $abc=1$，求证：$5+\dfrac ab+\dfrac bc+\dfrac ca\geqslant (1+a)(1+b)(1+c)$．
已知二次函数 \(f(x)=ax^2+bx+c\) 满足 \(|f(0)|,|f(-1)|,|f(1)|\) 均不大于 \(1\)，则当 \(x\in [-1,1]\) 时，\(|f(x)|\) 的最大值 \(M(a,b,c)\) 的最大值是________．
已知 \(\triangle ABC\) 的面积为 \(1\)，\(AB\) 的平行线分别交 \(AC,BC\) 于 \(D,E\)，连接 \(BD\)，\(\triangle DCE,\triangle DBE,\triangle DBA\) 的面积分别记为 \(S_1,S_2,S_3\)，则（ ）
A．\(\max\{S_1,S_2,S_3\}\) 的最小值为\(\dfrac 13\)
B．\(\max\{S_1,S_2,S_3\}\) 的最小值为\(\dfrac{3-\sqrt 5}2\)
C．\(\min\{S_1,S_2,S_3\}\) 的最大值为\(\dfrac 13\)
D．\(\min\{S_1,S_2,S_3\}\) 的最大值为\(\dfrac 14\)
注 所有选择题默认是不定项选择．
已知 \(\alpha,\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)\)，则 \(\cos\alpha+\dfrac 32\cos\beta-\cos\left(\alpha+\beta\right)\) 的最大值是_______．
如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥实心装饰块，容器内盛有 $a$ 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 $P$．如果将容器倒置，水面也恰好过点 $P$，如图2．有下列四个命题：
① 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；
② 将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 $P$；
③ 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 $P$；
④ 若往容器内再注入 $a$ 升水，则容器恰好能装满．
其中真命题的代号是_______．（写出所有真命题的代号）
已知函数 \(f(x)=\ln (x-1)-a(x-1)^2\)，其中 \(a\in\mathbb R\)．
（1）讨论 \(f(x)\) 的单调性；
（2）当 \(a=\dfrac 12\) 时，若 \(f(x_1)=f(x_2)\) 且 \(x_1\ne x_2\)，求证：\(x_1+x_2>4\)．
