如果存在 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，它们的和与乘积相等（$n=1$ 时它们的和与积就是自身），即\[a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1\cdot a_2\cdots a_n,\]则称 $n$ 具有性质 $P$．
(1)求证：所有正整数都具有性质 $P$；
(2)若存在 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，它们的和与乘积相等（$n=1$ 时它们的和与积就是自身）且恰好等于 $n$，即\[a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1\cdot a_2\cdots a_n=n,\]则称 $n$ 具有性质 $Q$，求所有具有性质 $Q$ 的正整数构成的集合．
分析与解 (1)如果 $n$ 具有性质 $P$，则 $n+4$ 也具有性质 $P$，这是由于\[a_1+a_2+\cdots+a_n+1+(-1)+1+(-1)=a_1\cdot a_2\cdots a_n\cdot 1\cdot (-1)\cdot 1\cdot (-1).\]而 $n=1,2,3,4$ 都具有性质 $P$（$(1),(2,2),(1,2,3),(1,1,2,4)$），于是所有正整数都具有性质 $P$．
(2)设 $k\in\mathbb N$，则
情形一 $n=4k+1$ 时，可以分成 $2k$ 个 $-1$，$2k$ 个 $1$，$1$ 个 $4k+1$．
情形二 $n=8k$ 时，可以分成 $2k$ 个 $-1$，$6k-2$ 个 $1$，$1$ 个 $2$，$1$ 个 $4k$．
情形三 $n=8k+12$ 时，可以分成 $2k+1$ 个 $-1$，$6k+9$ 个 $1$，$1$ 个 $-2$，$1$ 个 $4k+6$．
情形四 $n=4$ 时，$|a_i|\in \{1,2,4\}$，其中 $i=1,2,3,4$，且只有可能取 $1$ 个 $4$ 或 $2$ 个 $2$，容易验证都不可行．
情形五 $n=4k+2$ 时，由于\[a_1\cdot a_2\cdots a_n\equiv 2\pmod 4,\]于是 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为 $1$ 个偶数和 $4k+1$ 个奇数，它们的和为奇数，矛盾．
情形六 $n=4k+3$ 时，$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为 $4k+3$ 个奇数，设其中模 $4$ 余 $1$ 的有 $m$ 个，模 $4$ 余 $3$ 的有 $4k+3-m$ 个，因此\[a_1+a_2+\cdots+a_n\equiv m-(4k+3-m)\equiv 2m+1 \equiv 3\pmod 4,\]于是 $m$ 为奇数，进而\[a_1\cdot a_2\cdots a_n\equiv 1^m\cdot (-1)^{4k+3-m}\equiv 1 \pmod 4,\]矛盾．
综上所述，所有具有性质 $Q$ 的正整数构成的集合为\[\{ x \mid x\equiv 0,1,4,5\pmod 8,x\ne 4,x\in\mathbb N^{\ast}\}.\]
情形一 $n=4k+1$ 时，可以分成 $2k$ 个 $-1$，$2k$ 个 $1$，$1$ 个 $4k+1$．
情形二 $n=8k$ 时，可以分成 $2k$ 个 $-1$，$6k-2$ 个 $1$，$1$ 个 $2$，$1$ 个 $4k$．
情形三 $n=8k+12$ 时，可以分成 $2k+1$ 个 $-1$，$6k+9$ 个 $1$，$1$ 个 $-2$，$1$ 个 $4k+6$．
情形四 $n=4$ 时，$|a_i|\in \{1,2,4\}$，其中 $i=1,2,3,4$，且只有可能取 $1$ 个 $4$ 或 $2$ 个 $2$，容易验证都不可行．
情形五 $n=4k+2$ 时，由于\[a_1\cdot a_2\cdots a_n\equiv 2\pmod 4,\]于是 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为 $1$ 个偶数和 $4k+1$ 个奇数，它们的和为奇数，矛盾．
情形六 $n=4k+3$ 时，$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为 $4k+3$ 个奇数，设其中模 $4$ 余 $1$ 的有 $m$ 个，模 $4$ 余 $3$ 的有 $4k+3-m$ 个，因此\[a_1+a_2+\cdots+a_n\equiv m-(4k+3-m)\equiv 2m+1 \equiv 3\pmod 4,\]于是 $m$ 为奇数，进而\[a_1\cdot a_2\cdots a_n\equiv 1^m\cdot (-1)^{4k+3-m}\equiv 1 \pmod 4,\]矛盾．
综上所述，所有具有性质 $Q$ 的正整数构成的集合为\[\{ x \mid x\equiv 0,1,4,5\pmod 8,x\ne 4,x\in\mathbb N^{\ast}\}.\]