每日一题[1050]和积相等

如果存在 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$,它们的和与乘积相等($n=1$ 时它们的和与积就是自身),即\[a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1\cdot a_2\cdots a_n,\]则称 $n$ 具有性质 $P$.
(1)求证:所有正整数都具有性质 $P$;
(2)若存在 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$,它们的和与乘积相等($n=1$ 时它们的和与积就是自身)且恰好等于 $n$,即\[a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1\cdot a_2\cdots a_n=n,\]则称 $n$ 具有性质 $Q$,求所有具有性质 $Q$ 的正整数构成的集合.


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分析与解 (1)如果 $n$ 具有性质 $P$,则 $n+4$ 也具有性质 $P$,这是由于\[a_1+a_2+\cdots+a_n+1+(-1)+1+(-1)=a_1\cdot a_2\cdots a_n\cdot 1\cdot (-1)\cdot 1\cdot (-1).\]而 $n=1,2,3,4$ 都具有性质 $P$($(1),(2,2),(1,2,3),(1,1,2,4)$),于是所有正整数都具有性质 $P$.
(2)设 $k\in\mathbb N$,则
情形一  $n=4k+1$ 时,可以分成 $2k$ 个 $-1$,$2k$ 个 $1$,$1$ 个 $4k+1$.
情形二 $n=8k$ 时,可以分成 $2k$ 个 $-1$,$6k-2$ 个 $1$,$1$ 个 $2$,$1$ 个 $4k$.
情形三  $n=8k+12$ 时,可以分成 $2k+1$ 个 $-1$,$6k+9$ 个 $1$,$1$ 个 $-2$,$1$ 个 $4k+6$.
情形四  $n=4$ 时,$|a_i|\in \{1,2,4\}$,其中 $i=1,2,3,4$,且只有可能取 $1$ 个 $4$ 或 $2$ 个 $2$,容易验证都不可行.
情形五 $n=4k+2$ 时,由于\[a_1\cdot a_2\cdots a_n\equiv 2\pmod 4,\]于是 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为 $1$ 个偶数和 $4k+1$ 个奇数,它们的和为奇数,矛盾.
情形六  $n=4k+3$ 时,$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为 $4k+3$ 个奇数,设其中模 $4$ 余 $1$ 的有 $m$ 个,模 $4$ 余 $3$ 的有 $4k+3-m$ 个,因此\[a_1+a_2+\cdots+a_n\equiv m-(4k+3-m)\equiv 2m+1 \equiv 3\pmod 4,\]于是 $m$ 为奇数,进而\[a_1\cdot a_2\cdots a_n\equiv 1^m\cdot (-1)^{4k+3-m}\equiv 1 \pmod 4,\]矛盾.
综上所述,所有具有性质 $Q$ 的正整数构成的集合为\[\{ x \mid x\equiv 0,1,4,5\pmod 8,x\ne 4,x\in\mathbb N^{\ast}\}.\]
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