每日一题[1049]抓大放小

已知坐标平面 $xOy$ 上 $N$ 为圆 $x^2+y^2=1$ 上的一个动点,平面内动点 $M(x_0,y_0)$ 满足 $|y_0|\geqslant 1$ 且 $\angle OMN=30^\circ$,则动点 $M$ 运动的区域面积是______.


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正确答案是$\dfrac{8\pi}3-2\sqrt 3$

分析与解 先不考虑$|y_0|\geqslant 1$的限制,考虑满足条件$\angle OMN=30^\circ$的点$M$:

选定 $N$ 后,点 $M$ 点在一个半径为 $\dfrac 12\cdot\dfrac{1}{\sin 30^\circ}=1$ 的圆的优弧上,且劣弧始终在单位圆内,$ON$ 该是圆的一条弦.如图:

容易得到点$M$所在的圆的圆心在单位圆上,于是直接考虑一个半径为 $1$ 的动圆,其圆心在单位圆 $x^2+y^2=1$ 上运动形成的轨迹,是一个以 $O$ 为圆心,$2$ 的半径的圆.于是得到 $M$ 点运动的区域为如图的阴影部分.
根据弓形面积公式,所求面积为\[2\cdot \dfrac 12\left(\dfrac{2\pi}3-\sin\dfrac{2\pi}3\right)\cdot 2^2=\dfrac{8\pi}3-2\sqrt 3.\]

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