每日一题[1045]寻找合适的角度

如图1,一个正四棱柱形的密闭容器水平放置,其底部镶嵌了同底的正四棱锥实心装饰块,容器内盛有 $a$ 升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点 $P$.如果将容器倒置,水面也恰好过点 $P$,如图2.有下列四个命题:

① 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半;
② 将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点 $P$;
③ 任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好经过点 $P$;
④ 若往容器内再注入 $a$ 升水,则容器恰好能装满.
其中真命题的代号是_______.(写出所有真命题的代号)


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正确答案是②④.

分析与解 ① 设正四棱锥的底面边长为 $m$,高为 $h$,正四棱柱的高为 $H$,则\[m^2\cdot h-\dfrac 13m^2h=m^2\cdot (H-h)=a,\]于是 $h=\dfrac 35H$,命题错误.

② 根据图形的对称性,命题显然正确.

③ 如图,考虑如果水面是如图的三棱柱,则有$$\dfrac 12\cdot AB\cdot m\cdot H=m^2(H-h)=\dfrac 25Hm^2,$$解得 $AB=\dfrac 45m$.从而有$$MN=\dfrac 35\cdot\dfrac 45m=\dfrac{12}{25}m<\dfrac m2,$$所以此时 $P$ 点在水面上方.
④ 结合两图,可知命题正确.

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