每日一题[1051]三次函数的性质

已知函数 \(f(x)=x^3+px^2+qx\) 与 \(x\) 轴相切于点 \(\left(x_0,0\right)\)(\(x_0\ne 0\)),且极小值为 \(-4\),则 \(p+q\) 的值是(  )

A.\(12\)
B.\(13\)
C.\(15\)
D.\(16\)


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正确答案是C.

分析与解 根据题意,\(x=x_0\) 是函数 \(f(x)\) 的极大值点,\(0\) 为其极大值,且有\[f(x)=x\left(x-x_0\right)^2,\]其导函数\[f'(x)=\left(x-x_0\right)\left(3x-x_0\right),\]因此函数 \(f(x)\) 的极小值点为 \(x=\dfrac 13x_0\),极小值为\[f\left(\dfrac 13x_0\right)=\dfrac{4}{27}x_0^3=-4,\]解得 \(x_0=-3\).进而可得\[f(1)=1+p+q=(1-x_0)^2=16,\]于是 \(p+q=15\).

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