每日一题[1047]一目了然

已知 \(\triangle ABC\) 的面积为 \(1\),\(AB\) 的平行线分别交 \(AC,BC\) 于 \(D,E\),连接 \(BD\),\(\triangle DCE,\triangle DBE,\triangle DBA\) 的面积分别记为 \(S_1,S_2,S_3\),则(  )A.\(\max\{S_1,S_2,S_3\}\) 的最小值为\(\dfrac 13\)
B.\(\max\{S_1,S_2,S_3\}\) 的最小值为\(\dfrac{3-\sqrt 5}2\)
C.\(\min\{S_1,S_2,S_3\}\) 的最大值为\(\dfrac 13\)
D.\(\min\{S_1,S_2,S_3\}\) 的最大值为\(\dfrac 14\)

注 所有选择题默认是不定项选择.


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正确答案是BD.

分析与解 设 \(\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{CE}{CB}=x\),\(x\in(0,1)\),则\[\begin{split}S_1(x)&=x^2,\\S_2(x)&=x-x^2,\\S_3(x)&=1-x.\end{split}\]如图,\(P\) 点为函数 \(S_1(x)\) 与函数 \(S_3(x)\) 图象的公共点,\(Q\) 点为函数 \(S_1(x)\) 与函数 \(S_2(x)\) 图象的公共点,它们的坐标分别为\[P\left(\dfrac{\sqrt 5-1}2,\dfrac{3-\sqrt 5}2\right),Q\left(\dfrac 12,\dfrac 14\right).\]

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