每日一题[1046]各个击破

已知 \(\alpha,\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)\),则 \(\cos\alpha+\dfrac 32\cos\beta-\cos\left(\alpha+\beta\right)\) 的最大值是_______.


正确答案是\(\dfrac{11}6\).

分析与解 根据题意,有\[\begin{split}\cos\alpha+\dfrac 32\cos\beta-\cos\left(\alpha+\beta\right)&=\left(1-\cos\beta\right)\cdot \cos\alpha+\sin\beta\cdot\sin\alpha+\dfrac 32\cos\beta\\&\leqslant \sqrt{(1-\cos\beta)^2+\sin^2\beta}+\dfrac 32\cos\beta\\&=\sqrt{2-2\cos\beta}+\dfrac 32\cos\beta\\&=2\sin\dfrac{\beta}2+\dfrac 32-3\sin^2\dfrac{\beta}2\\&\leqslant \dfrac{-12\cdot \dfrac 32-2^2}{-12}=\dfrac{11}6,\end{split}\]等号当 \(\sin\dfrac{\beta}2=\dfrac 13\),且\[\alpha=\dfrac{\pi}2-\arctan\dfrac{1-\cos\beta}{\sin\beta}=\dfrac{\pi}2-\dfrac{\beta}2=\dfrac{\pi}2-\arcsin\dfrac 13\]时可以取到.

因此所求的最大值为 \(\dfrac{11}6\).

备注 本题也可以先通过柯西不等式消去角$\beta$,得到一个与$\alpha$相关的表达式,再去求最值,有兴趣的读者可以尝试.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了, 标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论