每日一题[1044]又见极值点偏移

已知函数 \(f(x)=\ln (x-1)-a(x-1)^2\),其中 \(a\in\mathbb R\).

(1)讨论 \(f(x)\) 的单调性;
(2)当 \(a=\dfrac 12\) 时,若 \(f(x_1)=f(x_2)\) 且 \(x_1\ne x_2\),求证:\(x_1+x_2>4\).


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分析与解 (1)函数 \(f(x)\) 的导函数为\[f'(x)=\dfrac{-2a(x-1)^2+1}{x-1},\]于是当 \(a\leqslant 0\) 时,函数 \(f(x)\) 在 \((1,+\infty)\) 上单调递增;当 \(a>0\) 时,函数 \(f(x)\) 在 \(\left(1,1+\dfrac{1}{\sqrt{2a}}\right)\) 上单调递增,在 \(\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2a}},+\infty\right)\) 上单调递减.

(2)当 \(a=\dfrac 12\) 时,有\[\ln(x_1-1)-\dfrac 12(x_1-1)^2=\ln(x_2-1)-\dfrac 12(x_2-1)^2,\]整理后应用对数平均不等式,得\[\dfrac{2}{x_1+x_2-2}=\dfrac{(x_1-1)-(x_2-1)}{\ln(x_1-1)-\ln(x_2-1)}<\dfrac{x_1+x_2-2}2,\]因此\[(x_1+x_2-2)^2>4,\]即\[x_1+x_2>4,\]因此原命题得证.

备注 第二问也可以用对称化构造的方法,证明$$\forall x\in(2,3),f(x)-f(4-x)>0.$$而左边的函数求导后可以变形为 $\dfrac{2(x-2)^2}{(x-1)(3-x)}$.

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