Math173

已知集合 $$A(n)=\left\{k\mid 1\leqslant k\leqslant \dfrac{3^n-1}{2},k\in\mathbb N^{\ast}\right\},$$其中$n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^{\ast}$．若存在非空集合 $S_1,S_2,\cdots,S_n$，使得 $A(n)=S_1\cup S_2\cup \cdots \cup S_n$，且 $S_i\cap S_j=\varnothing $（$1\leqslant i<j\leqslant n$），并对任意 $x,y\in S_i$（$i=1,2,\cdots,n$），$x>y$，都有 $x-y\notin S_i$，则称集合 $A(n)$ 具有性质 $P$，$S_i$（$i=1,2,\cdots,n$）称为集合 $A(n)$ 的 $P$ 子集．
(1)试说明集合 $A(2)$ 具有性质 $P$，并写出相应的 $P$ 子集 $S_1,S_2$；
(2)若集合 $A(n)$ 具有性质 $P$，集合 $T$ 是集合 $A(n)$ 的一个 $P$ 子集，设 $T'=\left\{s+3^n\mid s\in T\right\}$，求证：任意 $x,y\in T\cup T'$，$x>y$，都有 $x-y\notin T\cup T'$；
(3)求证：对任意正整数 $n\geqslant 2$，集合 $A(n)$ 具有性质 $P$．

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过点 \(A(-4,0)\) 向椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 引两条切线，切点分别为 \(B,C\)，若 \(\triangle ABC\) 为正三角形，则当 \(ab\) 最大时，椭圆的方程是____________．

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如图，在 \(\triangle AOB\) 中，\(\angle AOB=90^\circ\)，\(OA=1\)，\(OB=\sqrt 3\)，等边 \(\triangle EFG\) 的三个顶点分别在 \(\triangle AOB\) 的三边上运动，则 \(\triangle EFG\) 边长的最小值为（　　）

A．\(\dfrac12\)
B．\(\dfrac 23\)
C．\(\dfrac{\sqrt{21}}7\)
D．\(\dfrac{\sqrt 6}4\)

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已知 \(f(x)=\ln(x+1)-\dfrac{x}{(x+1)^a}\)，其中 \(a>0\)．若 \(\forall x>0,f(x)<0\)，求实数 \(a\) 的取值范围．

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已知函数 \(f(x)=ax^2+2x+1\)，若对任意 \(x\in\mathbb R\)，都有 \(f(f(x))\geqslant 0\) 恒成立，则实数 \(a\) 的取值范围是________．

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已知 \(x,y>0\)，求 \(m=6\left(x^2+y^2\right)(x+y)-4\left(x^2+xy+y^2\right)-3(x+y)+5\) 的最小值．

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已知坐标平面 \(xOy\) 内椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）上一点 \(P(x_0,y_0)\)，\(F_1,F_2\) 是椭圆的两个焦点，过 \(F_1,F_2\) 作椭圆在 \(P\) 点处切线的垂线，垂足分别为 \(M,N\)．

（1）求证：点 \(M,N\) 在定圆上；
（2）求 \(MF_1\cdot NF_2\) 的值．

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函数 \(y=x+\sqrt{x^2-2x+3}\) 的值域是_______．

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已知函数 \(f(x)=\sqrt 2a\sin\left(\omega\pi x+\varphi\right)\) 其中 \(a,\omega>0\)，\(|\varphi|\leqslant \dfrac {\pi}2\)，直线 \(y=a\) 与 \(f(x)\) 的图象的相邻两个交点的横坐标分别是 \(2\) 和 \(4\)，现有如下命题：

① 该函数在 \([2,4]\) 上的值域是 \(\left[a,\sqrt 2a\right]\)；
② 在 \([2,4]\) 上，函数在 \(x=3\) 处取得最大值；
③ 该函数的最小正周期可以是 \(\dfrac 83\)；
④ 函数 \(f(x)\) 的图象可能过原点．
上述命题中，正确的命题是__________．

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在棱长 $1$ 为正四面体 $D-ABC$ 中，$O$ 为 $\triangle ABC$ 的中心，过点 $O$ 作直线分别与线段 $AC,BC$ 交于 $M,N$（可以是线段的端点），连接 $DM$，点 $P$ 为 $DM$ 的中点，则下列说法正确的是（　　）

A．存在某一位置，使得 $NP\perp$ 面 $DAC$
B．$\triangle DMN$ 面积的最大值为 $\dfrac{\sqrt 2}4$
C．$\tan^2\angle DMN+\tan^2\angle DNM$ 的最小值为 $12$
D．棱锥 $D-MNC$ 与棱锥 $D-MNBA$ 的体积之比的取值范围是 $\left[\dfrac 45,1\right]$

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